相反，是语言不确切。
这东西无法表达的原因是它太确切了，
以至于语言无法表达。
——克利夫·刘易斯《空间三部曲 2：皮尔兰德拉星》1
1祝平译，译林出版社，2011 年 1 月。——译者注。
3.1 集合
3.1.1 美人的集合
“……哥，哥哥！哥哥！快 —— 起 —— 来！”
震耳欲聋的叫喊声把我从梦中唤醒。是尤里。
“别趴桌睡觉嘛！”
“我只是在闭目沉思。”我回道。
“你口水都流出来了喵！”
我慌忙拿手抹了抹嘴。
“骗！你！的！啦！”尤里笑了。
“呃……”忽然感觉好无力。
今天是周末。这里是我的房间。尤里跟平时一样来我家里玩儿。虽然她本人坚持说是来学习的……
“哥哥，今天教我‘集合’呗？”
“集合？”
“对啊。前几天我们数学课快下课的时候，老师说‘我来讲讲有意思的数学吧’，就讲起了集合。哥哥你之前不是也提过集合么？所以人家也很感兴趣……”
“嗯嗯。”
“不过啊，我们老师说‘集合就是聚集在一起，比如说美人的集合等’。老师话音刚落，大家立即在教室里炸开了锅。大家都在想：美人是谁呀？然后老师又说‘这个美人的集合，不是我要讲的那个集合’。真是的，简直莫名其妙嘛。”
“我倒觉得，对初中生来说，用数学的例子比较好呢。”我说道。
“数学的例子？”
“嗯。咱们就一起来看看吧。”我摊开笔记本。
“好呀。”尤里戴上她的树脂边框眼镜说道。
3.1.2 外延表示法
“尤里，你能举几个 2 的倍数吗？在自然数的范围内就行。”
“嗯，没问题。2 呀，4 呀。”
“没错。你试着从 2 开始依次说出 2 的倍数。”
“明白了，嗯……像 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ... 这样？”
“嗯。我们把聚集在一起的所有的 2 的倍数叫作‘2 的倍数的集合’，然后，我们这么写它。”
“这不就是列出来吗？”
“集合就是以这种形式来写的。”
- 用半角逗号“,”把具体元素隔开。
- 元素可以按任意顺序排列。
- 如果有无数个元素，就在最后加上省略号“...”。
- 然后把所有内容用大括号括起来。
“大括号是什么？”
“就是‘{ }’。”
“喔。那个……集合就是一堆数吗？”
“不一定是‘一堆数’。总之，是一堆‘东西’。”
“把东西聚在一起，用大括号括起来就好了吧？简单，简单！”
“不过称呼的时候就不要叫东西了，要叫元素。”
“元素？”
“我们把一个个属于集合的东西叫作元素。”
“元素……”
“比如说，10 是‘2 的倍数的集合’的元素。我们用符号‘∈’来表示这个概念。”
“数学家还真喜欢符号呀。”尤里耸耸肩。
“同理，要想表示 100 是‘2 的倍数的集合’的元素……”
“是这样吧！”尤里探出身子 —— 忽地飘来一缕洗发水的香味。
“没错。顺便说一句，用式子还能表示出 3 不是‘2 的倍数的集合’的元素。在‘∈’上划一条线，写作‘’。”
“简单，简单……话说，1 也不包含在这个集合里呢。”
“嗯。呀！你刚刚说的是‘不包含’么？”
“怎么？”
“最好说‘1 不属于这个集合’。”
“哥哥！你今天太严格了啦！净在意这些细枝末节的！”
“可是……”
“我腻味了，肚子也饿了。”
“尤里，可还没到吃点心的时候哟。”
“唔，我已经感觉到了阿姨跟我之间的心电感应！”
尤里“哔哔哔”地学着机器人，走出了房间。
没过一会儿，外面就传来了“阿姨～我要吃点心～”的撒娇声。
真是的……说得我肚子也饿了。
3.1.3 餐桌
我来到餐厅。尤里正在吃年轮蛋糕。
“啊，哥哥你吃吗？很好吃哦！”
“你也来一个吧？很好吃的。”我妈把盘子递到我跟前。
“尤里，你也太快就腻味了吧。”我把笔记本在桌上摊开，然后迅速往嘴里塞了一大口年轮蛋糕。哇，真甜呐……
“这个嘛，人家会腻味，是因为要记的东西太多啦。”
“好吧尤里，那我们用猜谜的形式来讲吧。”
“不愧是哥哥。果然是人家的专属老师！”
3.1.4 空集
“这个是集合吗？”我在摊开的笔记本上写了个式子。
{}
“哥哥，这里只有大括号，没有东西呀。”
“‘东西’是什么？”
“……哥哥你真坏，就是元素嘛。没有元素还算集合？”
“算，这叫作空集。空集也是正经八百的集合哦。”
“空集……没东西聚在一起也算集合呀，空空的。”
“那么，这是集合吗？”我又继续写道。
{1}
“嗯。是集合啊。东西……不，元素是 1，所以可以这么写。”这次换尤里写式子了。
1 ∈ {1}
“很好。刚刚还抱怨，你这不是记得很清楚嘛。”
“嘿嘿……”
“那么，这个成立吗？”
{1} ∈ {1} ？
“嗯……不好说，成立？”
“为什么？”
“因为……唔，我不知道。”
“{1} ∈ {1} 是不成立的。 才成立。”
“咦……”
“1 是 {1} 的元素，但 {1} 不是 {1} 的元素。自然数 1 跟集合 {1} 是不同的。”
“这样啊，∈ 这个符号只能像下面这么用，对吧。”
元素 ∈ 集合
“嗯，没错。‘元素 ∈ 集合’是对的。不过，要注意一点：在某些情况下，某个集合也会成为其他集合的元素。”
“集合成为元素？那是什么意思？”
3.1.5 集合的集合
“举个例子，你看看这个式子，这个成立吗？”
{1} ∈ {{1}, {2}, {3}}
“哇，好多大括号……这个，成立么？”
“这个成立。你好好看看右边的集合。我把大括号写大点，这样方便看。”
“嗯。”
“{1}, {2}, {3} 这三个元素属于这个集合。”
“啊！原来如此。{1} 不光是集合，也是更大的集合的元素呀！”
“没错。一旦注意到这点，你就会明白，这个式子是成立的。”
“有意思！我开始觉得集合有点意思了！这个嘛，就像盛着数的盘子叠在一起一样。”
“没错。”尤里的脑子转得真快啊。
“这样的话……哥哥，那这个式子也对吧？”
“嗯，没错，1 没有直接盛在大盘子里。”
“还有还有，这个也对吧？”
“对对。大盘子上盛着一个装有 1, 2, 3 的小盘子。你挺明白的嘛，尤里。”
“嘿嘿！”
“那么，我出一道题。你能写出一个集合，让它只包含 1 和 {1} 这两个元素吗？”
“嗯……嗯！简单，简单。是这样吧？”
“喔，写得不错嘛。”
“对了，”尤里弹了个响指，“哥哥，这时候下面这两个式子都成立吧？”
和
“当然了。”
“那么，能写成下面这种形式的，只有 1 和 {1} 吧？……也是，这是理所当然的。”
某元素 / 集合
“尤里！‘理所当然’也很重要哦！就算是理所当然的例子，也应该试着自己编编看。就算是理所当然的事儿，也应该试着用自己的话说说看。对学习来说，这是很重要的。尤里你能做到这点，相当了不起呀！”
“哥哥你能表扬我这点，也相当了不起呀！”
3.1.6 公共部分
“那么，我们再来说说，如何根据‘集合和集合’来生成新的集合吧。”我说道。
“生成新的集合？”
“首先是用于生成两个集合的公共部分的交集符号‘∩’。用‘∩’连接 {1, 2, 3, 4, 5} 跟 {3, 4, 5, 6, 7} 这两个集合而形成的式子表示的也是一个集合。这个集合是由同时属于两个集合的所有元素构成的。”
“同时属于两个集合……那个，不好意思，哥哥你刚说什么来着？”
“这个集合是由同时属于两个集合的所有元素构成的。换句话说，就是下面这样。”
“喔……啊，两个集合里有相同的数呀。”
“没错。所以，这些叫作公共部分，也叫相交。我们来试着给相同的元素画上下划线吧。”
“嗯。”
“像这样用维恩图来表示，就更一目了然了。”
用维恩图表示公共部分
公共部分
由同时属于集合 A 和集合 B 的所有元素构成的集合。
A ∩ B
“嗯！”
“那么，你知道下面这个集合是什么样的吗？”
“嗯？因为是由 6 和 12，还有‘...’构成的集合，所以是 {6, 12, ...} 对吧？”
“没错。{2, 4, 6, 8, 10, 12, ...} 是由 2 的所有倍数构成的集合。{3, 6, 9, 12, 15, ...} 是由 3 的所有倍数构成的集合。沿用这种说法的话，尤里你刚刚说的 {6, 12, ...} 是什么集合呢？”
“6 的倍数……吧。由 6 的所有倍数构成的集合。”
“对对。其中 6 这个数，是 2 和 3 的最小公倍数。”
“哦哦原来如此！……唔，这也难怪，因为是公共部分嘛。”
“……只激动了一下下而已么。那么，下面这个呢？”
“这个……咦？偶数和奇数的公共部分没有元素呀！”
“没有元素的集合有一个特殊的名字。”
“啊！空集！看，就是这样。”
“嗯，答得很好。”
3.1.7 并集
“下面我们来讲讲并集。并集的符号是‘∪’。看完例子你马上就会明白了。”
“我明白了。就是把两个集合的元素全部并到一起呗。”
“没错。用维恩图表示，就是下面这样。”
用维恩图表示并集
“‘由至少属于两个集合中任意一方的所有元素构成的集合’叫作这两个集合的并集。
并集
由至少属于集合 A 和集合 B 中任意一方的所有元素构成的集合。
A ∪ B
“话说回来，3, 4, 5 重复了，那么为什么不这么写呢？”
“一般不那么写。因为 {1, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 7} 和 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 作为集合来说是相等的。
“诶？人家不明白。”
“集合这东西吧，只由‘都包含哪些元素’来决定。我们不考虑它包含的某个元素的个数。使用‘∈’这个符号，我们只能知道‘某元素是否属于某集合’，而并不能知道属于某集合的某元素有多少个。所以，就算采用 {1, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 7} 和 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 这两种写法，我们也没法区分这两个集合。”
“喔……”
“而且，即使改变集合里元素的书写顺序，集合也还是那个集合。例如，{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 跟 {3, 1, 4, 5, 2, 6, 7} 就是一个集合。”
“原来如此啊。”
“我们回到‘∪’上来。下面这个等于什么？”
“嗯……把偶数和奇数合起来的那个。”
“‘那个’？尤里，它有一个特定的名字。”
“啊！是自然数吧！”
“没错。等于自然数集 2。”
2关于 0 是否是自然数，学界存在争议，本书认为“0 不是自然数”。另外，自然数集即由所有自然数构成的集合，也称自然数集合。——译者注
= 自然数集
3.1.8 包含关系
我妈端来了花草茶。
“我不爱喝这个。”我小声说道。
“你说什么？”
“没什么……”
“这多好的饮料呀！”
不过，不爱喝的还是不爱喝嘛 —— 我腹诽着。
“好好闻啊。”尤里在一旁赞道。
“尤里真是个乖孩子。”我妈说着就回厨房了。
“目前为止……”我继续讲数学，“我们看了生成公共部分的交集运算，还有生成并集的并集运算。这两个运算都是由两个集合来生成新的集合。”
“嗯。”
“我顺便介绍一下其他的符号吧。还有一个跟它们很像的符号 ⊂。它表示的是两个集合的包含关系。”
“包含关系？”
“就是表示一个集合‘包含于’另一个集合。”
“你那么说我哪儿懂啊，简直跟念咒似的。”
“呃……有吗？”
“哥哥你是人家的老师，教得教明白呀！”
“看一下具体例子，你马上就会明白啦。现在，我们思考下面这两个集合。”
{1, 2} 和 {1, 2, 3}
“嗯。”
“集合 {1, 2} 的所有元素也都属于集合 {1, 2, 3}，对吧？”
“嗯。就是 1 跟 2 呗。”
“此时，我们说集合 {1, 2} 包含于集合 {1, 2, 3}。然后，这两个集合的关系可以像下面这样用符号 ⊂ 来表示。”
{1, 2} ⊂ {1, 2, 3}
“明白了。”
“可以说 {1, 2} 包含于 {1, 2, 3}，也可以说 {1, 2} 是 {1, 2, 3} 的子集。”
“子集……咦？可以说‘包含’了？”
“对对。这里要用‘包含于’的说法。为了不把‘元素与集合的关系’跟‘集合与集合的关系’搞混。我来举几个例子吧。”
“咦，空集 {} 也包含于 {1, 2, 3} 呀。”
“没错。”
“而且，{1, 2, 3} 也包含于它本身？”
“对的。当集合包含于它本身时，我们有时还会采用 {1, 2, 3} ⊆ {1, 2, 3} 这种写法。另外，有时还会限定只有集合不包含于它本身时才能使用 ⊂，而且为了明确表示集合不包含于它本身，还可能会采用 这种写法。不过，这些要是能明确定义下来就好了……”
“唔……话说，{2} 也可以吧？”
“什么‘也可以吧’？”
“我的意思是，{2} 也是 {1, 2, 3} 的一部分吧……”
“尤里，再怎么说，你也得好好用一用新学的词吧。”
× {2} 是 {1, 2, 3} 的一部分。
√ {2} 包含于 {1, 2, 3}。
√ {2} 是 {1, 2, 3} 的子集。
“……知道了啦，老师。{2} 也是 {1, 2, 3} 的子集吧！”
“嗯，是的，这位同学。”
“哥哥，既然要叫人家，就好好叫人家的名字嘛。”
3.1.9 为什么要研究集合
学习就此告一段落。
尤里从架子上拿下瓶子，掏出柠檬糖。
“话说，哥哥，∈、∩、∪、⊂ 这些，简直跟检查视力似的。出来这么一堆符号，像在玩解谜游戏，还算有意思。不过啊，集合很重要吗？”
“这个嘛……对整理数学概念而言，集合很有用。数学书里经常会出现你说的这些好像是用来检查视力的符号。”
“就算数学书里经常会出现，可今天这些集合的知识，比如公共部分呀，并集呀，不都是理所当然的吗？为什么这些很重要呢？为什么数学家会去研究集合呢？”
尤里用认真的眼神看着我。有那么一瞬间，我看到了她的头发上闪着的微弱光泽。
“……我也解释不了，回头我去问问米尔嘉吧。”
“米尔嘉大人！对了，对啊！我想见米尔嘉大人！”
“来我们学校就能见到啦。”
“啊？等到人家入学那会儿，米尔嘉大人早就毕业了啦！”
“嗯？”其实我的意思是让尤里来学校玩儿，而非就读……咦？毕业？对啊，还有一年多，我跟米尔嘉就都该毕业了……
“把米尔嘉大人叫到家里来嘛。你只要说‘有好吃的巧克力，来玩呗’，她应该就会来了吧。”
“你打算用食物来钓米尔嘉上钩？”
“总之，你要好好问问她哦，哥哥！”
为什么，数学家会研究集合呢？
3.2 逻辑
3.2.1 内涵表示法
“为了处理无限。”米尔嘉回答道。
“无限？”我不解。
这里是图书室。我坐在老地方，米尔嘉则背靠窗户面向我站着。她身姿飒爽，很是引人注目。
“为了处理无限。这是研究集合的目的之一。”她答道。
“可是，集合的元素有时候也是有限的吧？”
“当然。但是，集合是靠无限集合 3 来发挥它的本领的。不动用集合跟逻辑，就很难处理无限。”
3即由无限个元素组成的集合，又称无穷集合。——编者注
“集合跟……逻辑？”
我开始思考 —— 我明白集合跟逻辑都很重要，但是它们完全是两码事吧，集合是元素聚在一起，而逻辑像是……用数学将证明导向正确方向的指向标。
看到我一脸难以置信的表情，米尔嘉便继续解释。她一边用食指比划着圈圈，一边在窗前来回踱步。每当她转过身时，细长的发丝都会在空中轻轻飞扬。放学后的图书室里，只有我们两个人 —— 悠闲的时光。
米尔嘉渐渐进入了“讲课”模式。
“集合以‘属于或不属于’为基础，逻辑则以二选一式的‘真或假’为基础。如果抛开集合的外延表示法，从内涵表示法来考虑，集合跟逻辑的关系就很清楚了。在集合的外延表示法中……”
◎ ◎ ◎
在集合的外延表示法中，我们将元素一个个列出，以表示集合。这是你教给尤里的方法，对吧？
{2, 4, 6, 8, 10, 12, ...} 外延表示法的示例
外延表示法具体列出了每个元素，因此一目了然。然而，它对无限集合而言则具有局限性，因为我们不可能把无限个元素都给一一列出。如果省略号“...”里省略的内容不明确，就会引发问题。
相对而言，在内涵表示法中，我们将元素满足的条件作为命题写出，以表示集合。也就是说，我们是用逻辑来表示集合的。例如，要用内涵表示法来表示“2 的所有倍数的集合”，就要用到命题“n 是 2 的倍数”。在竖线“ | ”的左边写出元素的类型，在右边写出命题。
{n | n 是 2 的倍数 } 内涵表示法的示例
在内涵表示法中，因为我们会写出元素应满足的命题，所以产生误解的风险较低。只要我们通过命题来明确写出元素应该满足的条件，那么就能表示出有无数个元素的集合。处理无限集合时，内涵表示法要比外延表示法更方便。
即使在表示同一个集合时，内涵表示法的命题也未必只有一种写法。例如，下面这些集合指的就是同一个集合。
虽然内涵表示法很有用，但我们还需要注意一下。
如果没完没了地使用内涵表示法，就会产生矛盾。
◎ ◎ ◎
“……就会产生矛盾。”米尔嘉说到这里，停下了脚步。
“矛盾？”我不解。
矛盾指的是某个命题跟它的否定都成立……
“因内涵表示法而产生矛盾的一个著名例子就是 ——”
她利落地在我身边坐下，凑到我耳边轻声说道：
“罗素悖论 4。”
4英文写作 Russell's Paradox，又称为理发师悖论，由英国哲学家罗素于 1901 年提出。——译者注
3.2.2 罗素悖论
如果假设“任何命题都能表示集合”，就会产生矛盾 —— 这就是罗素悖论。在此我们采用 这个命题。
问题 3-1（罗素悖论）
假设 是一个集合，请说明其中的矛盾。
假设 是一个集合，我们用 R 来表示这个集合。
在此，我们来研究 R 是不是它本身的元素，即 R 是不是集合 的元素。
因为我们已经假设 是一个集合了，所以按理说，R 要么属于这个集合，要么不属于这个集合。也就是说，以下命题不是真命题，就是假命题。
(1) 假设命题 为真，则 R 是集合 的元素。此时，R 满足命题 。换句话说就是，下面的命题为真。
在此，我们用 来代换“”右边的 R，则代换后的命题也为真。
然而，这样就跟我们原本假设的以下命题相矛盾了。
(2) 假设命题 为假，则 R 不是集合 的元素。此时，R 不满足命题 。换句话说就是，命题 是假命题。也就是说，以下命题为真命题。
R ∈ R
在此，我们用 代换“R ∈ R”右边的 R，则以下命题也为真命题。
然而，这样就跟我们原本的假设“命题 为假”相矛盾了。
由 (1) 和 (2) 可知，此处产生了矛盾，且无论命题 为真还是为假，矛盾都会产生。
证明到此为止。
解答 3-1（罗素悖论）
我们讨论了集合 是否是自身的元素。不管假设它是它本身的元素，还是假设它不是它本身的元素，矛盾都会产生。
耍小聪明，是躲不开罗素悖论的。因为罗素悖论是单凭集合中最重要的“∈”来产生矛盾的。
为了防止矛盾产生，就需要给集合的内涵表示法里用的命题加一些限制条件。
我举一个简单的限制条件的例子。设一个全集 5U，如果在 U 的范围内思考集合，那么内涵表示法就相对稳妥一些。也就是说，不是像 {x | P(x)} 这样无限制地使用命题 P(x)，而是像 {x | x ∈ U ∧ P(x)} 这样，只针对集合 U 的元素 x 来使用命题 P(x)。
5全集指的是包含我们所研究的问题中涉及的所有元素的集合。——译者注
3.2.3 集合运算和逻辑运算
内涵表示法用命题来表示集合，因此，集合与逻辑密切相关也很正常。集合运算和逻辑运算的对应关系非常清楚。
6又称合取。——译者注
7又称析取。——译者注
补集 指的是由属于全集 U，但不属于集合 A 的所有元素构成的集合。
德·摩根定律也很美。
德·摩根定律为什么美？
因为上面的四个式子能用同一种写法来表示……这么说，你应该不明白吧？
德·摩根定律的写法是下面这样的。
h(f(x, y)) = g(h(x), h(y))
只要把这里出现的 f(x, y)、g(x, y)、h(x) 这三种函数像下面这样具体写出来，我们就会发现，德·摩根定律能表示上面所有的式子。
f(x, y)
g(x, y)
h(x)
h(f(x, y)) = g(h(x), h(y))
x ∩ y
x ∪ y
x ∪ y
x ∩ y
x ∧ y
x ∨ y
x ∨ y
x ∧ y
内涵表示法是通过逻辑来表示集合的。不管是多么抽象的概念，只要能通过逻辑来表示，就能以集合的形式令它“开花结果”，令它成为数学的研究对象。虽说我们在使用内涵表示法时仍然需要留心不能引发矛盾，但数学的研究对象的范围会得到惊人的拓展。
不管是代数、几何，还是分析，我们都能用集合跟逻辑来表示研究对象。
而且，数学本身也能成为数学的研究对象。
只要使用集合跟逻辑，就连“用数学研究数学”都能办得到。
◎ ◎ ◎
“……就连‘用数学研究数学’都能办得到。”米尔嘉说道。
米尔嘉流畅的解说竟让我有了丝丝醉意。
“‘用数学研究数学’指的是？”
咣当——
图书室入口传来了很大的声响。
是活力少女 —— 泰朵拉。
3.3 无限
3.3.1 双射鸟笼
“哎哟哟哟哟……”泰朵拉揉着膝盖走了进来。
“怎么了？”我问道。
“对、对不起，打扰到你们了。我不小心撞到门口那个运书的手拉车了 …… 应该是瑞谷老师放在那儿的吧，好危险呀。”
“……泰朵拉，那车子一直都放在那儿吧。”
“这个……东西太多了，我眼睛有点花。”
“你肯定是想把所有东西都一眼看完吧。”我回应道。
“嗯……话说，今天讨论什么问题？”泰朵拉问道。
我跟她大概说了说集合、逻辑，还有无限的问题。
“无限好难啊，数不清楚呢……”泰朵拉嘀咕道。
“数不清楚？”米尔嘉问道。
“无限个也就是没有止境，所以数不清楚吧。”
“有时候就算不知道‘个数’，也能知道‘个数相等’。例如……”米尔嘉摊开双手，“像这样让双手的指尖碰在一起，拇指对拇指，食指对食指，然后小指对小指。”
米尔嘉让双手的指尖碰在一起 ——
在她胸前形成了一个小小的“鸟笼”。
“就算不知道右手有几根手指，也不知道左手有几根手指，只要能像这样把双手的指头一一对应，就可以说双手的手指根数相等。”
“诶？”泰朵拉一头雾水。
“打个比方，假设从某个有限集合到另一个有限集合，存在下面这样的映射。此时，两个有限集合的元素个数相等。这种映射一般称为双射8。”
8也称一一映射。——编者注
双射
“我提个问题。映射是什么来着？”泰朵拉问道。
“就是‘对应关系’啦，泰朵拉。”我回答，“就像米尔嘉把左手手指跟右手手指互相对应一样，映射就是让某些东西与某个集合的元素对应的方法。”
“你这表述太模糊了。”米尔嘉评价道，“假设存在集合 A 和集合 B，对于集合 A 的任意元素，集合 B 中都有唯一元素与之对应。此时，我们把这种对应关系称为 A 到 B 的映射。这个嘛，也可以说映射是将函数概念一般化而得来的。”
米尔嘉停了一下，又继续往下讲。
“我们来简单总结一下各种映射 —— 满射、单射、双射。”
◎ ◎ ◎
满射指的是没有“多余元素”的映射，允许出现“重复”。
没有“多余元素”的映射——满射的示例
如果有“多余元素”，就不是满射。
因为有“多余元素”，所以不是满射的映射的示例
单射指的是没有“重复”的映射，允许出现“多余元素”。
没有“重复”的映射——单射的示例
下面这种因为有“重复”，所以不是单射。
因为有“重复”，所以不是单射的映射的示例
双射指的是满射且单射的映射。
也就是说，双射是没有“多余元素”且没有“重复”的映射。
没有“多余元素”且没有“重复”的映射——双射的示例
双射的话，可以建立逆映射。
双射的话，可以建立逆映射
如果存在双射，那么自然就会想到两个集合的元素个数相等。
◎ ◎ ◎
“……确实自然就会想到。”泰朵拉点头，像米尔嘉那样用手比出了一个小小的鸟笼。是“双射鸟笼”。
米尔嘉的语速越来越快，口若悬河。
“我们试着把用映射来思考元素个数的方法，从有限集合应用到无限集合吧。无限集合的元素个数也可以通过映射来研究，然而在无限集合里，会发生一些有悖直觉的不可思议的事情。因为太不可思议了，所以连那个伽利略 9都走上了回头路……”
916 世纪意大利物理学家、天文学家及哲学家，科学革命中的重要人物，提出了伽利略悖论。伽利略悖论认为，有多少整数就有多少完全平方，虽然大部分整数自身不是完全平方。——译者注
“伽利略？”我不解。
3.3.2 伽利略的犹豫
我们来聊聊“伽利略的犹豫”吧。
伽利略知道，能生成从自然数到平方数的双射。
伽利略想，既然“存在双射即个数相等”，那么可以说自然数和平方数的个数相等么……不，不对劲。因为平方数只不过是自然数的一部分。
整体和部分的个数相等 —— 这明显很奇怪。因此伽利略认为，在“无限”这个条件下，不能说个数在双射中是相等的。
17 世纪，伽利略就在此处折返。
伽利略：在“无限”这个条件下，不能说个数在双射中是相等的。
19 世纪，康托尔 10和戴德金 11也发现了这个数学事实，但他们没有像伽利略那么想。戴德金认为，整体和部分之间存在双射正是无限的定义。这是一场惊人的思维大颠覆。
1019 世纪德国数学家，创立了现代集合论并提出了集合的势和序的概念。——译者注
1119 世纪德国数学家，提出了戴德金 η 函数、戴德金 ζ 函数、戴德金和、戴德金分割、戴德金环等重要理论。——译者注
戴德金：无限指的是在整体和部分之间存在双射。
康托尔深入研究了无限集合中元素的“个数”。这里的“个数”一般被称为“浓度”12。
12也叫基数、基、势。——译者注
当发现错误时，人们一般都会认为自己失败了，从而折返。然而，戴德金认为这不是失败，而是一个发现。如果将“在整体和部分之间存在双射的集合”定义为无限集合，那么不管元素个数是有限还是无限，个数在双射中都是相等的。
出错了、不合逻辑 —— 之所以会陷入这种泥潭，是因为碰上了前所未有的概念。我们可以认为自己失败了，然后折返。不过，我们也可以认为这是一个新的发现，然后继续前进。
在扩展概念时，人们经常会碰到这种情况。
不存在加 1 后等于 0 的自然数。
——那就将其作为负数 -1 的定义。
不存在平方后等于 2 的有理数。
——那就将其作为无理数 的定义。
不存在平方后等于 -1 的实数。
——那就将其作为虚数单位 i 的定义。
在整体跟部分之间存在双射。
——那就将其作为无限集合的定义。
扩展概念时的困难之处就在于“飞跃前的停滞”。
◎ ◎ ◎
“……就在于‘飞跃前的停滞’。”米尔嘉说道。
“原来如此。”我点头。
“每个人都会犹豫。这种犹豫经常会体现在数的命名上。”
“命名？是指什么？”泰朵拉问道。
“咱们来个英语单词测试吧。”米尔嘉指着泰朵拉说道。
“负数？”米尔嘉问道。
“Negative Number。”泰朵拉回答。
“无理数？”
“Irrational Number。”
“虚数？”
“Imaginary Number。”
“否定的、不合理的、想象中的……”米尔嘉从座位上站起来，“这些英语单词充分体现了人类面对全新概念时产生的犹豫。”
她扭头望向窗外。
“要向新的道路前进时，任谁都会犹豫啊。”
3.4 表示
3.4.1 归途
米尔嘉说要跟盈盈练习钢琴，就去了音乐室。
我跟泰朵拉从学校出来，踏上平时常走的那条曲曲折折的小路，向着车站前进。
我回忆着米尔嘉的讲解，开始自言自语似地嘀咕。
“集合跟逻辑……集合的内涵表示法是通过逻辑来表示集合的。我们把‘满足某个命题的东西’视为‘该集合的元素’。用命题的形式来表示条件，就是创造‘集合’这个对象。换句话说，‘美人的条件’创造了‘美人的集合’……”
“是这么回事吗……”泰朵拉也慢慢地开了口，“你说的‘表示’是‘写出来’的意思吧？我们没法把无限个元素具体写出来，但是可以把无限个元素拥有的共同性质写出来……”
泰朵拉走在我身旁，我默默地听她讲着。
“英语的 Describe 从词源上讲是 De-Scribe，Scribe 是‘写’的意思……”泰朵拉说到这里，好像进入了自己的世界，眼中完全没有我。“实际上，就是写在什么上面。这……就是表示的本质？即使同为‘表示’，Describe 又跟 Express 不一样。Express 是‘向外’（Ex）推出（Press），是把心里的东西一把推出去，那么 Describe 是往那些东西上面写吗？ Represent 呢？ Denote 呢？”
泰朵拉停下脚步，从书包里拿出辞典。
“你那本是英英辞典？”我问道。
她“唰”地一下抬起头。
“什么？啊，是的。对不起，我刚刚一个人想入迷了。”
“嗯，你心里的想法都被 Express 出来了哟。”
3.4.2 书店
泰朵拉让我陪她选参考书，我们就顺路来了书店。
“学长，数学参考书要选什么样的才好呢？我已经买了一大堆了……”
泰朵拉仰望着摆满了数学参考书的书架。
“这么说来，我一直挺奇怪，你挺在意每本参考书在表述上的差异吧。”
“啊，以前是的……怎么说呢，我有时候感觉非得买很多书才行。这算是一种不安么？感觉只要买了那些学霸们用的参考书，我的成绩就也能跟他们一样高……就像买游戏攻略书似的。”
“你现在也还这么想吗？”我忍俊不禁。
“不要笑人家嘛。这个嘛……我现在想法有点不一样了。我觉得不在于‘买或不买’参考书，而在于‘用或不用’自己的脑子吧。买了参考书不看也没用，而且光看也没用，一定要好好动笔，认真思考才行。可是，有时候我还是会禁不住想：如果手边有本好的参考书，是不是‘唰唰唰’地就能搞懂了呢……”
泰朵拉从书架上拿了一本参考书，翻了开来。耳边传来了轻轻的翻书声。她翻了几页，又把书放回了书架上。
“要是我，我选的时候就会想：什么参考书适合自己呢？”
“学长的意思是？”
“你看啊，每个人不懂的地方、想不通的地方都不一样吧。尤其是数学，有时候光是理解了一句关键的话，整个人就开窍了。所以，我都是仔细考虑自己不明白哪些知识以后，再去选择相匹配的参考书。”
“诶？学长，你刚刚说的话超 —— 级重要啊！麻烦你再说具体点，让我也能理解！”
泰朵拉凑到我面前。
“……嗯，举个例子吧。假设你不明白‘数学归纳法’，然后你对着镜子问，也就是问自己‘我自己都不明白哪些地方呢？’你可能会不由自主地想回答‘我全都不明白！’不过，这时不能放任自己，要牢牢站住脚。然后，耐心找出自己是从哪里开始不明白的。找出对自己而言的‘不明白的初始点’。如果你发现‘就是这儿！’，也就是找到了初始点，那你再来书店，翻开参考书，找到写有‘初始点’相关内容的那页，踏踏实实地读，花上大把时间来思考这本书是否能解答自己的疑问。衡量完一本参考书后，再拿另一本重复同样的过程。只要这样来回读，就有可能找到适合自己的参考书。也就是说，没有一本参考书是适合所有人的，我们要找出适合自己的那一本参考书。
“可是，感觉会花上很多时间……”
“这也没办法呀，因为面对式子的时候……”
“任何人都是一个小数学家，对吧？”泰朵拉接过我的话说道。我们相视而笑。
“学习啊，最基本的就是要问自己‘我都不明白哪些地方呢？’”
“学长讲的我最容易懂了……要是能把学长你摆在我的书架上，那该多好啊……”
泰朵拉吐了吐舌头，偷看了我一眼。
3.5 沉默
美人的集合
“研究出集合是为了处理无限？！”尤里很吃惊。
在接下来的那个周末，我在自己家里把米尔嘉的话复述给了尤里。
“无限有这么厉害吗？我不太能理解啊……”
“我也还不明白，得一点点学啊。”
“唔……”
“不用着急，尤里你经常动脑，也能准确地把问题用语言表述出来。明白吗？数学是不能逃避的，所以我们要沉下心来对待它。尤里你没问题的。”
“是、是喵……”
“当然了。你能理解的数学深奥到我都想象不到。”
“……话说，哥哥。”
尤里慢慢摘下了眼镜。
“嗯？”
“那个，人家……”
尤里把眼镜折叠好，放进口袋，看着我。
“嗯。”
“你觉得人家属于‘美人的集合’吗？”
“诶？这个的真假对每个人来说都不一样，这不能算是命题啊……”
“如果把哥哥你当作‘美人测定仪’的话，就能当命题了呀。”
“这个……”
“可以把全集限制成你身边的女生。”
“这……”
“哥哥，你觉得人家是‘美人的集合’的元素吗？”
“……”
“不说‘是’，也不说‘不是’。沉默就是你的答案吗？”
即使数学新导入了一个抽象的概念，
只要明确定义了这个概念，
那么就算它看似漂浮于虚空之中，
也会立即化身成集合与其元素，飘落到地面上，
随之混入各种各样的数学之中，朝气蓬勃地开始发光发热。
——志贺浩二13[13]
13日本数学家，生于 1930 年，东京工业大学名誉教授。——译者注