被丢掉的小小豆子，
在一夜之间成长到了惊人的高度。
豆茎缠绕交织，像梯子般探向天空，
被云遮住了，望不到尽头。
——《杰克与豆茎》
2.1 泰朵拉
2.1.1 皮亚诺公理
随着一声“学长”，我转过了头。
“呀，泰朵拉。”
这里是我就读的高中。我此时在庭院里的一个小池塘边。这儿各处放置着长椅，午休时也有来吃午饭的学生。不过现在已经放学了。我一个人坐在长椅上，望着池塘。天很冷，但我的头脑却很清醒，感觉很舒畅。
“原来你在这里呀。”泰朵拉说道。
居然能发现我在这里……不愧是绰号“可爱的跟踪狂”的泰朵拉。不过也只有我妈这么叫她。
泰朵拉比我低一级，上高一。她非常适合短发，很是可爱，是一名娇小、好奇心旺盛、活力十足的女生。
我一直在教她数学。放学后在图书室里、天台上、教室里……她总会来找我，问我数学问题，是跟我关系很好的学妹。
我稍微挪了挪身子，泰朵拉坐在了我的旁边。柔和的甜香—— 女生为什么会这么好闻啊。
“来了新卡片……”泰朵拉说着拿出了一张卡片，“写了好多东西，我完全看不懂。”
皮亚诺公理（文字说明）
PA1 1 是自然数。
PA2 对于任意自然数 n，其后继数 n' 都是自然数。
PA3 对于任意自然数 n，n' ≠ 1 都成立。
PA4 对于任意自然数 m, n，若 m' = n'，则 m = n。
PA5 假设对自然数 n 的谓词1 P(n) 而言，下面的（a）和（b）都成立。
（a）P(1)。
（b）对于任意自然数 k，P(k) 成立，则P(k')成立。
此时，对于任意自然数 n，P(n)都成立。
1在逻辑学里面，通常将命题里表示思维对象的词称为主词，表示对象性质的词称为谓词。例如，若 P(x) = x 为奇数，则 x = 5 时以上命题成立，x = 2 时以上命题不成立。像这样往变量 x 里代入一个值时，判断真伪的条件就叫作谓词。——译者注
“哈哈，这样啊。”我说。
“啊，背面还有呢。”
我把卡片翻过来一看，后面还写着逻辑公式 2。
2又叫作“合式公式”（well formed formula）。——编者注
皮亚诺公理（逻辑公式）
PA1
PA2
PA3
PA4
PA5
“这是什么题啊……”泰朵拉说。
“这是村木老师的研究课题吧。”
村木老师是我们学校的数学老师。这位老师人很古怪，喜欢出一些跟课程没有关系的问题。村木老师会把问题写在卡片上，然后发给我们。卡片不定期发放，问题难度也各有不同。不管看什么书，或是问什么人来解题都无所谓，没有提交期限，也不打分。我们自觉解题，把答案以报告的形式提交给老师。解村木老师的题算是一种开动脑筋的娱乐吧。但不仅如此，怎么说呢，对我们来说，这还是一场动真格的比赛。
“研究课题……就是说，我们要根据这张卡片自己出题自己解？”泰朵拉又看了一遍卡片。
“嗯，这是皮亚诺公理，非常著名。这就是说让我们思考这里的 PA1~PA5。”
“了解……可是学长，我从老师那里拿到卡片以后，就一直在努力研究。可是完全 —— 完完全全不懂这是什么意思。我只看懂了一个，后继数 n 是……”
“呀，泰朵拉，你留心点看，后继数不是 n，而是 n'。”
“啊，是呢……这么说，难道这里的 n' 指的不是 n + 1 ？可是，后继数的意思是‘下一个数’，对吧？”
n' 是 n + 1 吗？
“这个嘛，从结果来看是这样。”
“那么，为什么要写成 n' 呢？写成 n + 1 不就好了吗？感觉这里是故意写得让人难懂似的……而且，我不明白，这个皮亚诺公理究竟在说什么啊？尤其是‘逻辑公式’……”
“别急别急，不要看这又看那的，先从 PA1 开始，按顺序往下看。”
“啊 —— 好吧，学长你说的也对。”
“我在书上看到过皮亚诺公理，所以知道得多一些。泰朵拉，你是第一次接触皮亚诺公理，所以‘完完全全不懂’也是理所当然的。我们来一起看吧？”
“好！”
泰朵拉大大的眼睛里焕发着光芒。她也喜欢跟我一起研究数学呀。
“首先吧，皮亚诺公理要表达的是……”
“皮亚诺是人名吧？皮亚诺先生？”
“嗯，皮亚诺是数学家 —— 用皮亚诺公理可以定义自然数。”
用皮亚诺公理可以定义自然数。
“定义—— 自然数？！这……这这……居然还能……”
“嗯，还能这样。”
“啊，不……不是说能不能……而是，有定义自然数的必要吗？因为自然数……就是自然数呀。不用定义也不用干什么，我们就已经知道自然数是 1, 2, 3, ... 啦。”
泰朵拉口中说着“1, 2, 3, ... ”，并夸张地掰着手指示意。
“数学家皮亚诺呀，总结了自然数本质上的性质，提出了皮亚诺公理。公理指的就是不用证明也能成立的命题。命题则是判断真假的数学性观点。我们要用这张卡片上的 PA1~PA5 这几个公理，定义由所有自然数构成的集合 。暂且忘掉我们以前学过的自然数吧。下面，假设集合 满足皮亚诺公理。此时，集合 中都包含怎样的元素呢？我们就从这一点出发，来研究一下皮亚诺公理吧。”
“好！……阿嚏！”
泰朵拉打了个可爱的喷嚏。
“这里冷，我们去‘加库拉’吧。”
2.1.2 无数个愿望
我跟泰朵拉并排走在校园内的林荫道上，前往“加库拉”。泰朵拉紧跟着我的步伐，不时小跑几步。
“学长，童话里总提到‘三个愿望’呢。”
“被关在瓶子里的精灵帮人实现愿望……”
“就是这个。听了这个故事以后，我就一直在想：等许完两个愿望以后，第三个愿望要是许‘再实现我三个愿望’就好了。”
“一直循环的话，不管多少愿望都能实现吧。”
“没错。嘿嘿……”
“‘再实现我三个愿望’是‘元愿望’吧。”
“元愿望？”
“关于愿望的愿望。这种愿望就叫元愿望。”
“啊，你说 Meta 3呀。关于愿望的愿望 ——”
3这里的 Meta 和元愿望的说法都源自元数学。元数学是一种用来研究数学和数学哲学的数学，即“数学的数学”。——译者注
“稍等。”我停下了脚步，“这样的话，一开始就许‘请实现我无数个愿望’不就好了？元愿望有这一个就够了。”
“可是这样一来，就把无数个要求用一句话说完了呀，这会不会显得太厚脸皮了啊……”泰朵拉握紧拳头强调道。
“话说，泰朵拉你的‘愿望’是什么？”
“能永远跟学长……啊呀呀！这……这是秘密！”
2.1.3 皮亚诺公理 PA1
“加库拉”是一个活动中心，总有很多学生聚集于此。我们从自动贩卖机里买了咖啡，坐在了休息室的四人桌前。今天难得没什么人。我翻开笔记本，泰朵拉在我左边坐下。
皮亚诺公理 PA1
1 是自然数。
“你明白公理 PA1 里的 这个式子是什么意思吗？”
“嗯，应该是……元素和集合的关系吧。 这个式子表示的是，1 是 这个集合的元素。”
“对对，就是你说的这个意思。”
“嗯。”
我往笔记本上写着笔记。
1 是集合 的元素。
“也可以用‘属于’这种说法。”
1 属于集合 。
“属于……对对，‘1 belongs to ’，对吧？”
泰朵拉的英语发音真优美。
“嗯。如果用图把 画出来，大概就是下面这样。”
1 属于集合 N（）
“了解。”
“那么，我们继续看公理 PA2。”
2.1.4 皮亚诺公理 PA2
皮亚诺公理 PA2
对于任意自然数 n，其后继数 n' 都是自然数。
“这里虽然写作后继数 n'，事实上就是 n + 1 吧。”
“就结果来看是这样，不过公理 PA2 还没到那里。”
这好难解释啊……
“‘没到那里’？什么意思？”
只要我没能说清楚，泰朵拉就会马上提问。直到真正理解，她才会停止思考。她本人曾说“不管干什么我都比别人慢，我讨厌这样”，不过这种踏踏实实思考的态度非常好。
“我们来细看一下公理 PA2。这里写着‘对于任意自然数 n，其后继数 n' 都是自然数。’这里写的是 n'，并不是 n + 1，对吧？话说回来，在我们接下来要定义的自然数中，‘加’这个概念还没有被定义出来呢。”
“啊？”
“就结果而言，n' 相当于 n + 1，不过这是后话了。所以，我们不能先入为主地认为 n' 就是 n + 1，并带着这个观念往下思考。”
“嗯，我差不多明白了。因为还没定义 n + 1，所以不能那么认为……对吗？”
“对对，就是如此。话说，你觉得公理 PA2 到底在说什么？也就是说，由所有自然数构成的集合 里都包含什么样的元素？”
“嗯……因为对于任意自然数 n，n' 都是自然数，所以，对于自然数 1，2 也是自然数，对吧。”
“泰朵拉，我们还不知道 2 这个数呢。”
“啥？因为 1 是自然数，所以 1 加上 1 得出的 2 也是自然数吧……”
“不对不对，还不能‘加’1。我们还没定义‘加’呢。”
“啊！对了。我怎么一下子给忘了呢……”
“公理 PA1 保证了‘1 是自然数’，然后，再结合公理 PA2，我们就可以说‘1' 是自然数’，明白没？这里的关键就在于，不要写 2，而要写成下面这样。”
1'（1 撇）
“哈哈，就是 Literally 地跟着公理 PA2 呀。”
“Literally ？”
“就是从字面上跟着公理 PA2 4。”她换了个说法。
4即严格按照公理 PA2 中的用语去描述。——译者注
“……嗯，没错。这样就能说 了。这是因为，首先由公理 PA1 可知，1 是自然数，即 。然后由公理 PA2 可知，对于所有自然数 n，n' 都是自然数，即 。因此，如果把 1 套进 n 里，我们就可以说 1' 是自然数，即 了。虽然很绕，不过一步步使用公理来表示 很重要哦。”
“啊，我感觉抓到点儿要领了。这就是所谓的‘装作不知道的游戏’吧。只能用卡片上的公理，就算知道了结论，也要故意装作不知道的游戏。”
“说得好！就是这样。可以用‘卡片上的公理’，也可以用‘经过逻辑性推理由公理推出的结论’。但是，除此之外都不准用。除了已定义的内容以外，一概装作不知道。确实是‘装作不知道的游戏’。”
“嗯。用 PA1 和 PA2 的话，就知道 1 和 1' 包括在我们定义的自然数的集合里了。我来画张图！”
1' 也属于集合 （）
“不错。”
“学长，话说回来，逻辑公式里出现的 ……”
“嗯，这个是全称量化符号‘’（读作‘任意’），意思就是‘对于所有的〇〇’。卡片上是按下面这种格式写的。
这里的意思是，对于集合 的所有元素 n，‘关于 n 的命题’都成立。
有时也用推出符号‘’ 5来这么写：
5“”为推出符号。例如，“A 推出 B”可表示为 。——译者注
有时候条件中也会提前说明 ，并在逻辑公式中省略 。
这几种写法都是一个意思。看了很多数学书以后，你就会发现写法可以多种多样。”
“这样啊……那么，我们接着看公理 PA3 吧！”泰朵拉右手握拳，高高扬起手臂。
“不不，公理 PA2 还有可说的地方呢，泰朵拉。”“啥？”
2.1.5 养大
“我们已知 1' 属于集合 。也就是说，1' 是自然数。那么，对 1' 使用公理 PA2 会如何呢？”
公理 PA2：对于任意自然数 n，其后继数 n' 都是自然数。
“难不成……会出现后继数的后继数？”
“没错。在我们已知的自然数 1' 上再加上一个‘'’，得到的 1'' 也是自然数。”
“这样的话，嗯……也就是加多少个‘'’都行？”
“就是这样！”
“呼……也是呢。因为 1, 2, 3, 4, 5, ... 这样的自然数有好多，所以也得有 1, 1', 1'', 1''', 1'''', ...才行啊。”
“PA1 和 PA2 这两个公理，养大了我们的自然数。”
1, 1', 1'', 1''', 1'''', ... 属于集合
“这样啊……”
“然后把集合 N 写成下面这样。”
“这样就定义了自然数，对吧？”
“不，还没有呢。我们目前只用到了 PA1 和 PA2 这两个公理。”
“啊，对呀。但是抓到要领了，就不好玩儿啦。”
- 可以使用公理。
- 也可以使用“经过逻辑性推理由公理推出的结论”。
- 可以重复使用公理。
- 我们就是这样定义集合 的。
“嗯，总结得很好。我们希望这个 N 能够成为所有自然数的集合。那么，根据公理 PA1 和 PA2，我们已知集合 N 的格式是 {1, 1', 1'', 1''', 1'''', ...}。”
“嗯。这个集合也就是 {1, 2, 3, 4, 5, ...}。但是，我们现在要‘装作不知道’。”
“对对，就是这么回事。这是‘装作不知道的游戏’。”
“光靠两个公理就能生成无数个自然数，真厉害呀。简直就像让两面镜子面对面……‘两面相对的镜子的谈话’呀。”
“不，光用 PA1 和 PA2，我们还不能说已经生成了无数个自然数。”
“诶？”
泰朵拉瞪大了双眼看着我。
2.1.6 皮亚诺公理 PA3
“不能说有无数个自然数吗？可是，不是说加多少个‘'’都行的吗？没有尽头吧？”
“对。但是还不能说‘已经生成了无数个自然数’。”
“……为什么？”
“你觉得呢？”
“可……可是，不都生成 {1, 1', 1'', 1''', 1'''', ...} 了吗？”
“嗯。”
“那么……就有很多 ——”
“可是啊，没人能保证 1、1' 和 1'' 各不相同。”
“这个……可是，1' 跟 1 是不一样的吧。”
“公理 PA1 和 PA2 里都没提到 1' ≠ 1。”
“咦？还要深究到这个份儿上吗……”
“没错。因此才有了皮亚诺公理 PA3。”
“哇啊……皮亚诺可真厉害。”
皮亚诺公理 PA3
对于任意自然数 n，n' ≠ 1 都成立。
“我们可以根据公理 PA3，说 1' ≠ 1 吗？”
“当然。因为‘对于任意自然数 n，n' ≠ 1 都成立’，所以拿 1 套在 n' ≠ 1 中的 n 里，1' ≠ 1 就成立了。”
“哦哦，因为 1 是自然数……这样啊，原来如此。学长，刚刚我才发觉，‘对于任意自然数 n’这个说法超厉害的！不用管 n 是什么，只要留意一点就好，也就是只要留意 n 是不是自然数就好。我吧，对条件和逻辑这方面很不擅长……可能不太能理解这种‘不由分说’的地方。”
“嗯，你这方面跟尤里确实大不一样。尤里她好像就喜欢这种一锤定音的逻辑，这种‘不由分说’的感觉。不过，我也很明白你说的感觉。瞻前顾后这点跟我有点像啊。”
“诶？是是是……是么？”泰朵拉红了脸，“不好意思，我老说奇怪的话。”
“没有，没事的。你随便说，我也能从中学习嘛。”
我话音刚落，泰朵拉嘴角就漾开了微笑。
2.1.7 小的？
我一口喝下了冷掉的咖啡。这时，泰朵拉举起了手。
“公理 PA3……我不太明白。”
即使对方就在眼前，她也总会在提问的时候举起手。
“哪里呢？”
“公理 PA3 是不是在说‘1 是最小的’呢？”
公理 PA3：对于任意自然数 n，n' ≠ 1 都成立。
“嗯……可以说是，也可以说不是。”
“什么意思？”
“公理 PA3 主张 1 有着特别的作用。不过啊，还不能说 1 是‘最小的’。你觉得这是为什么呢？”
泰朵拉面露难色，开始思考。今天的加库拉意外地安静。平时的话，因为有学生们的谈话声或者管乐社团的练习声，这儿很是热闹。
她就像是一只毛茸茸的小松鼠。泰朵拉松鼠……我突然想到俄罗斯方块那样的游戏，从上面掉下来的不是方块，而是一个个小小的泰朵拉……这么想着，我差点“噗”地笑出来。
“为什么还不能说‘1 是最小的’呢？”她问道。
“嗯……因为我们现在要定义自然数的集合，而数学领域中平时我们认为理所当然的东西都还没有定义呢。”
“……不行，我不明白。”她有点懊恼。
“我们还没有定义‘小’这个概念呢。‘大’跟‘小’都还没有定义出来，所以我们还不能说‘1 是最小的’。”
“喔……就是说，连这么基本的东西都还没定义呗？”
“嗯。那么，我们回归正题。还剩下两条皮亚诺公理。”
“没错。”
2.1.8 皮亚诺公理 PA4
“皮亚诺公理 PA4……”
“嗯，是这条。”泰朵拉指向卡片。
皮亚诺公理 PA4
对于任意自然数 m, n，若 m' = n'，则 m = n。
“你应该会看了吧，这条。”
“或许吧……那个，字面意思和逻辑公式的意思我差不多懂了，‘’是‘推出’的意思，对吧？”
“嗯。”
“‘若 m' = n'，则 m = n’的意思我明白。就是说‘若 m' 和 n' 相等，则 m 和 n 相等’。不过我不明白，这到底跟定义自然数有什么关系呢？”
“原来你是这里不明白。”
“而且 ……感 觉‘若 m' = n'，则 m = n’像是理所当然的。因为 m' = n' 就相当于 m + 1 = n + 1，所以 m = n 就是理所当然了吧……”
“喂喂，你又用错公理了。思路反了。你思考了后继数的‘含义’，于是就注意到了 m' 意味着 m + 1，这样自然就会觉得‘若 m' = n'，则 m = n’是理所当然的了。你可没有完全遵守你自己说的‘装作不知道的游戏’的规则。”
“啊……我又搞错了吗？”
“是的。公理 PA4 主张的是，定义后继数时需注意后继数应满足‘若 m' = n'，则 m = n’。换句话说，这条公理是让我们定义一个求后继数的运算‘'’，而这个运算要能满足‘若 m' = n'，则 m = n’这个性质。”
“运算……原来如此，‘'’是运算呀。可……可是，这样一来，会怎么样呢？唔唔……脑袋好疼。明明是数学，却又不像是数学。跟平常不一样，脑袋转来转去都晕了……”
泰朵拉说着抱住了头。
“嗯。假设运算‘'’满足‘若 m' = n'，则 m = n’这个性质，那么……就能避开 Loop 6了。”
6此处指“循环”。——译者注
“Loop…… 是‘轮子’那个词的英语吗？”
“嗯。这里的 Loop 是我在心里画的概念图……我们已知 是 {1, 1', 1'', 1''', 1'''', ...}。在这里，我们用上运算‘'’，试想一下‘'’在这个元素上来回走。那么，我们就能看到下面这种链条关系。”
“哈哈，从 1 开始依次是后继数、后继数……一个个往下延伸呀。”
“对对。然后呢，这个虽然看起来像一条直路，但是比如，我们在中途让 1' 等于 1'''''。”
“啊……确实可以。”
“比如，1' 等于 1'''''，那么这个链条就不是一条直线了，而会构成一个周而复始的循环。”
比如，1' 等于 1'''''，那么就会构成一个循环
“为什么……啊，是这样没错。后继数一旦走到 1''''' 之后，就会回到 1'。”
“这跟我们想生成的自然数的结构不一样。我们希望自然数不要构成循环，而要呈一条直线前进，对吧？”
“等一下！”
泰朵拉一把抓住了我的胳膊，满脸认真。
“请等一下。我快明白了……我感觉自己已经‘抓到’了学长你说的那句‘思路反了’的意思。公理展现的是‘n' 应该具有的性质’，是吧？”
泰朵拉忘我地摇着我的胳膊，继续说道：
“没错。正因为皮亚诺想说‘1 是自然数’，所以才准备了公理 PA1，即 。正因为他想说‘任意自然数都有后继数’，所以才准备了公理 PA2，也就是 。然后，因为没有比 1 小的自然数……啊，不能说‘小’。嗯……正因为他想说‘没有后继数为 1 的自然数’，所以才准备了公理 PA3，即 n' ≠ 1。然后……正因为他想说‘后继数一个个地一直延伸下去’，才准备了公理 PA4，对吧？！”
“泰朵拉……你刚刚收到了皮亚诺发出的信息哦！你明白了他想传达给你的自然数是什么样子！”
她放开方才还紧握着的我的胳膊，脸上泛起一阵红晕，站了起来。
“皮亚诺先生发出的信息……原来就是这样的啊。啊！”
泰朵拉叫了一声。
我随着她的视线看去 ——
米尔嘉微笑着站在那里。
2.2 米尔嘉
米尔嘉 —— 我的同班同学，擅长数学。不，不能说是擅长，应该说是在数学方面没有人能比得上她。她戴着金属边框的眼镜，一头乌黑的长发，是一名健谈的才女。不过，我不太明白，除了数学她都在想些什么……从我第一次遇到她那会儿开始，就是如此。我很难明白她的真实想法。
“原来你们在这儿啊。泰朵拉，你拿卡片来了么？”
米尔嘉慢慢地走向我们这边。
她向泰朵拉伸出手。
一举一动都优雅动人。
“嗯……”
泰朵拉把卡片交给米尔嘉，“咚”地坐在了椅子上。
“皮亚诺算术。”米尔嘉站着翻看卡片正反面后说道。
“这个叫皮亚诺算术吗？”泰朵拉问道。
米尔嘉用中指向上推了一下眼镜。
“PA1～PA5 是 Peano Axioms，也就是皮亚诺公理。研究满足皮亚诺公理的集合 ，再定义谓词 P(n)，以及加法运算和乘法运算，就能研究 Peano Arithmetic，也就是皮亚诺算术。话说，你讲解完了没？”
我迅速把讲给泰朵拉的内容告诉了米尔嘉。
她绕到我座位后面，隔着我肩膀看着笔记。
发丝轻拂我的脸颊。
柑橘般的甜香包围着我。
我感到米尔嘉的手正搭在我肩上。
（好温暖）
“喔……嗯，是这样。虽然没什么错，不过循环么……”
她挺直身子，闭上眼睛。刹那间，周围的气氛紧张了起来。米尔嘉一闭眼，所有人都不由自主地沉默了。
“循环这个说法不贴切。”米尔嘉睁开眼睛说道。
“是吗……”我有点焦躁，“如果没有 PA4，也就是说，没有 这条公理，就算沿着后继数‘'’形成的路径构成了循环，也不能抱怨什么吧。”
“先不说那个。我想说的是，PA4 防的是会合，而不是循环。虽说防止了会合也就防止了循环。”
“……会合？”
“我画张图解释一下吧。”
米尔嘉冲泰朵拉摆了摆手。
这手势是叫泰朵拉从我旁边让开？
一瞬间，现场气氛变得很僵。
泰朵拉犹豫了一下，站起身移到了她对面的座位。
米尔嘉坐在了泰朵拉的旁边。
……诶？她是想坐在那儿来着？
然后她继续往下讲。这、这个……
“举个例子，如果只有 PA1、PA2、PA3，自然数还可以形成下面这种结构。这更应该说是会合，而不是循环。”
米尔嘉拿过我的自动铅笔，画了一张图。
如果只有 PA1、PA2、PA3，还可以会合
“太奇怪了。a 这个元素是哪儿来的？从 1 可到不了 a 吧？”
我反驳道。“好好读读公理，你就明白了。PA1、PA2、PA3，不管是哪一条，都没写着‘所有元素都是沿着 1 过来的’。并且，光凭这三个公理，我们也推导不出以上结论。因此，可以存在不能沿着 1 过来的元素，比如这里写着的 a。这就是说，如果只有 PA1、PA2、PA3，也能建立上面这种模型。就像你说的那样，PA4 防止了循环。不过，它也防止了 a 来会合。”
“米尔嘉学姐……”泰朵拉出声说道，“听你说完我想到，如果 PA4 禁止会合，那么是不是就不需要 PA3 里的 n' ≠ 1 了呢？”
“需要。”米尔嘉马上答道，“如果没有 PA3，而只有 PA1、PA2、PA4，那么自然数还可以是这种结构。”
米尔嘉又画了一张图。
如果只有 PA1、PA2、PA4，还可以是这种结构
“确实没有会合，然而，这并不是我们期待的自然数的结构……对吧？”米尔嘉上扬了尾音，问道。
“嗯。”我点头，“如果只有 PA1、PA2、PA4，集合可能就会从无限远的地方跑过来，再跑到无限远的地方去吧。”
“看来皮亚诺先生是经过深思熟虑以后，才得出这个公理的呀……”
“来研究最后一条公理 PA5。”米尔嘉说道。
2.2.1 皮亚诺公理 PA5
来研究最后一条公理 PA5。
皮亚诺公理 PA5
假设对自然数 n 的谓词 P(n) 而言，下面的（a）和（b）都成立。
（a）P(1)。
（b）对于任意自然数 k，P(k) 成立，则 P(k'）成立。
此时，对于任意自然数 n，P(n) 都成立。
公理 PA5 里新出现了一个概念，即自然数 n 的谓词。这个自然数 n 的谓词就是，在给出自然数 n 的具体值时，让 P(n) 成为命题的条件，这里把它叫作 P(n)。其实我们管它叫什么都无所谓。公理 PA5 叙述了如何证明“对于任意自然数 n，P(n) 都成立”。——没错，这就是数学归纳法 7。自然数的定义中出现了数学归纳法，耐人寻味。因为这暗示着数学归纳法跟自然数的本质有关。
7这是一种数学证明方法，通常用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立。——译者注
如果自然数是有限的，例如只有 1, 2, 3 这三个自然数。这样一来，只要证明 P(1), P(2), P(3) 这三个命题都成立，就能证明对于所有自然数 n，P(n) 都成立。
然而，自然数有无数个。我们不可能去实际调查无数个自然数。想就所有自然数提出某些主张，就必须用到数学归纳法。PA5 是一种机制，用于就所有自然数来提出某些主张。也正因如此，皮亚诺公理里才会有 PA5。
◎ ◎ ◎
“那个……米尔嘉学姐？”泰朵拉怯怯地开了口，“那个‘数学归纳法’，我其实还不太明白。虽说在课上也学习过……”
“那么，我就简单说说吧。数学归纳法分为两个步骤。”
米尔嘉开始讲解，看上去很开心。
2.2.2 数学归纳法
数学归纳法分为两个步骤。
步骤 (a)：证明命题 P(1) 成立。这就是所谓的出发点。
步骤 (b)：证明对于任意自然数 k，“P(k) 成立，则 P(k + 1) 也成立”。
如果能证明步骤 (a) 和步骤 (b)，那么就能证明对于所有自然数 n，P(n) 都成立。
这就是通过数学归纳法来进行的证明。
◎ ◎ ◎
“这就是通过数学归纳法来进行的证明。”米尔嘉说道。
“了解……”泰朵拉点头。
“那么我出一个简单的问题，你们马上就能解出来的那种。”米尔嘉继续说道，“没有加法运算‘+’就没法往下讲了，所以我在这里假设，我们已经通过皮亚诺公理定义了自然数，而且自然数跟加减乘除这些运算都已经定义完了。”
问题 2-1（奇数的和与平方数）
证明对于任意自然数 n，以下等式成立。
“啊，好……我来证明。根据数学归纳法……”
“不对。”米尔嘉大力敲了一下桌子，“首先来编个例子，平常都是这样的，蠢货才会忘记示例。”
“啊……我想起来了，‘示例是理解的试金石’对吧？”泰朵拉说着偷瞄了我一眼，“先写一个具体例子。”
“那么，当 n 分别等于 1, 2, 3 时，这个等式的确成立……那个……话说我写完具体例子才注意到，1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) 这个式子，是由 n 个奇数相加而成的。”
“没错。你注意到的这点很重要。”米尔嘉竖起食指，“人的心会把具体的例子压缩。下意识地找寻规律，发现较短的表示方法，这就是人心。比如‘由 n 个奇数相加而成’。有很多方法能用来证明问题 2-1，不过这里，你就试着用数学归纳法来想想吧，泰朵拉。”
“好，嗯……”
◎ ◎
嗯……将与自然数 n 有关的谓词 P(n) 定义如下。
谓词 P(n)：
然后，按顺序证明步骤 (a) 和步骤 (b)。
步骤 (a) 的证明：首先，证明 P(1) 成立。因为 P(1) 即如下命题，所以 P(1) 成立。
命题 P(1)：1 = 12
这样一来，步骤 (a) 就证明完毕了。
步骤 (b) 的证明：接下来，证明对于自然数 k，P(k) 成立，则 P(k + 1) 成立。假设对于自然数 k，P(k) 成立。那么，这就相当于以下等式成立。
假设命题 P(k)：
接下来，我们的目标是证明 P(k + 1) 成立。P(k + 1) 就是下面这种形式的等式。
目标命题 P(k + 1)：
这里只是把有 k 的地方全换成 (k + 1)。证明上面这个等式成立就是我们的目标。那么，我们先由等式 P(k) 变换出等式 P(k + 1)。等式 P(k)…… 也就是下面这个等式。
我们思考一下把该等式的左边变成等式 P(k + 1) 左边的情况。
为此，我们在该等式的两边加上 (2(k + 1) - 1)。
好了。下面，我们把得到的等式重新写一遍。
这跟 P(k + 1) 的形式一致。也就是说，由假设命题 P(k)，可以推导出目标命题 P(k + 1)。这样，我们就证明了步骤 (b) 成立。
然后，由于步骤 (a) 和步骤 (b) 都成立，所以根据数学归纳法，可证明对于任意自然数 n，P(n) 都成立。也就是说，以下等式对于任意自然数 n 都成立。
这就是我想说明的。—— Q.E.D.8。
8意思是证明完毕或证讫。Q.E.D. 是拉丁片语 Quod Erat Demonstrandum（意思是“这就是所要证明的”）的缩写。这句拉丁片语译自希腊语，包括欧几里得和阿基米德在内的很多早期数学家都用过。—— 译者注。
◎ ◎ ◎
“Q.E.D.。”泰朵拉说。
Q.E.D.——证明结束的标志。
“完美。”米尔嘉说。
看到泰朵拉精确地变形了等式，我也非常吃惊。
“泰朵拉，你不是说不太明白吗？为什么……”
“嗯……我会把等式套到数学归纳法的模式里。课上我们也有练习过。不过，我真的不太明白。那个，我对步骤 (b) 一头雾水。刚刚在证明步骤 (b) 的时候，我是这么说的：‘假设对于自然数 k，P(k) 成立’。可是……可 是真的好奇怪啊！因为我一开始想证明的是‘对于任意自然数 n，P(n) 都成立’。然而在这里，我却感觉简直就是假设了想证明的条件。先假设想证明的条件，再往下证明，感觉好奇怪啊。虽然我会按照数学归纳法的模式来写出证明过程，可是却不明白为什么这样就算是证明出来了。”
泰朵拉把话一口气说完后，看了看坐在身旁的米尔嘉。
米尔嘉看着我，眼神里好像在说“来，该你了”。
“这个问题问得非常好，泰朵拉。”我说道。
◎ ◎ ◎
这个问题问得非常好，泰朵拉。
我举个简单的例子来解释一下。
数学归纳法可以比作多米诺骨牌。
我们想证明的是“一大串排放整齐的多米诺骨牌会全部倒下”。
步骤 (a) 相当于“最开始的那张多米诺骨牌会倒下”。
步骤 (b) 相当于“如果第 k 张多米诺骨牌倒下，那么第 k + 1 张多米诺骨牌也会倒下”。换句话说，就是“如果一张多米诺骨牌倒下，那么下一张多米诺骨牌也会倒下”，好好想想看。
- 如果一张多米诺骨牌倒下，那么下一张多米诺骨牌也会倒下。
- 事实上，多米诺骨牌会倒下。
这两个条件完全不同吧？泰朵拉。
◎ ◎ ◎
“噢噢……确实，想象一下眼前摆着多米诺骨牌的话，‘如果一张多米诺骨牌倒下，那么下一张多米诺骨牌也会倒下’跟‘事实上，多米诺骨牌会倒下’完全不同呢……”
“是吧。”我说，“而且，由于断句的问题，人们经常会产生一些误会。例如，数学归纳法的步骤 (b) 是下面哪一个？”
(1) 对于任意自然数 k，“P(k) 成立，则 P(k + 1) 也成立”。
(2) “对于任意自然数 k，P(k) 成立”，则 P(k + 1) 也成立。
“……啊！原来如此！数学归纳法里用的是 (1) 吧！我觉得我好像想到 (2) 那边去了。”
“没错。”我点头。
解答 2-1（奇数的和与平方数）
把等式 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n2 成立写作 P(n)，并使用数学归纳法。
(a) 因为 1 = 12，所以 P(1) 成立。
(b) 假设对于自然数 k，P(k) 成立，则以下等式成立。
在等式两边加上 (2(k + 1) - 1)，整理得到以下等式。
以上等式成立，即 P(k + 1) 成立。
因为以上 (a) 与 (b) 皆成立，所以根据数学归纳法，对于任意自然数 n，P(n) 都成立，即以下等式成立。
2.3 在无数脚步之中
2.3.1 有限？无限？
天色彻底暗了下来。
我们三人走出加库拉，一起前往车站。我们排成一列，在窄窄的小路上前后走着，最前面的是泰朵拉，然后是我，米尔嘉走在最后面。
我边走边想：
脚步，要一步步向前迈。我们不可能提前知道所有的脚步。
生活，要一天天往下过。我们不可能提前知道所有的生活。
我们不知道接下来会发生什么。
未来总是像一条朦胧、难解的道路。
不过……
不过，我们的回忆或许会留在这脚步之中。
曾在春雨中，与泰朵拉伞下同行……
也曾在茜红色的光线下，与米尔嘉相依前行……
一切回忆，都在这无数的脚步之中。
泰朵拉转过头，对我们说了句话：
“光用五条公理就能定义自然数，真厉害呀……”
“是啊。”我表示同意，“不过，这么一想，PA5 还真是复杂啊。虽说只是一条公理……”
“用有限抓住无限。确实很有魅力。”米尔嘉说道，“不过，就算是无限，也是受某种形式、某种限制、某种写法所制约的。我们不能用既定的形式来记叙尚未定型的无限。”
2.3.2 动态？静态？
“可以说，皮亚诺用叫作后继数的‘下一步’，走向了叫作自然数的无限么？”我一面走，一面说着。
“也不能小看这‘下一步’呢。”泰朵拉说道，“数学归纳法也是一步步地来证明的……”
“一步步地来证明……这种动态概念对么？”米尔嘉说道，“数学归纳法看上去像是一步步地来证明的。虽然这么想也没什么不好，但是，数学归纳法表示的是“命题对于所有的自然数都成立”。这是静态概念。这个说法不是针对一个个自然数，而是针对由所有自然数构成的集合。利用逻辑的力量，一口气抓住全部。你用的‘多米诺骨牌的比喻’还不错，不过较为片面。”
“嗯……”我说道。
“我、我也……”泰朵拉开口，“我也这么想过，在学长教我数列的时候。比如，假设存在‘对于所有自然数， 都成立’这个说法，如果一个个去看数列，就会感觉‘啊，数列在渐渐变大’。可是光看‘对于所有自然数， 都成立’这个说法，就会有米尔嘉学姐说的那种静态的感觉。”
“用皮亚诺公理可以定义自然数集。定义自然数用到的是‘集合跟逻辑’。皮亚诺是想用集合跟逻辑来建立数学的基础。”
“用集合跟逻辑，建立数学的基础……”我重复道。
“啊！黄灯了！”
泰朵拉叫着，跑过了人行横道。这位活力少女刚刚跑过马路，信号灯就变成了红色，我跟米尔嘉在道路的这一侧站住了。
等绿灯。
泰朵拉冲我们这边招着手。
我挥手回应。
“啊，对了。”我对身旁的米尔嘉说道，“刚刚在加库拉……我没想到你会坐到泰朵拉的身边。”
沉默。
过了一会儿，米尔嘉直视着信号灯，突然开了口：
“……坐在对面更能看清楚你的样子。”
“诶？”
“绿灯了。”
2.4 尤里
2.4.1 加法运算？
“皮亚诺算术真有意思喵。”尤里说道。
今天还是与以往一样的周末。我和尤里在我的房间。尤里缠着我，让我给她讲皮亚诺算术。
“是吗？哪里有趣了？”
“这个嘛，根据公理能一锤定音。一开始只给出了 1，然后为了生成后继数，准备了运算‘'’。只用这点条件，就能一口气生成无数个自然数。而且，还事先准备了公理来防止出现会合。真是无懈可击呀！人家最喜欢这种了。皮亚诺滴水不漏，真行啊！”
“……你可真敢说啊，尤里。”
“话说，‘加法’也能定义吗？”
“没错。定义‘加法’没有你想象中难。”
加法运算的公理
ADD1 对于任意自然数 n，n + 1 = n' 都成立。
ADD2 对于任意自然数 m, n，m + n' = (m + n)' 都成立。
“诶？这样真的能定义加法吗？”尤里问道。
“嗯，可以呀。应该说这样能定义‘+’这种运算。”
“那么，我来试试 1 + 2 = 3 ！”
“好啊。不过要计算的不是 1 + 2，而是 1 + 1'。”
“……诶？啊，是呢。因为我们还不知道 2 呢。”
“因此，等式 1 + 1' = 1'' 成立。然后，只要把 1' 跟 1'' 分别起名为 2 和 3，就可以证明 1 + 2 = 3 了。”
“那么，2 + 3 = 5 呢？”
“因此，等式 1' + 1'' = 1'''' 成立。然后，跟刚才同理，只要把 1', 1'', 1'''' 分别起名为 2, 3, 5，就可以证明 2 + 3 = 5 啦。”
2.4.2 公理呢？
“话说回来，泰朵拉真是不可思议。嘴里说着不明白不明白，却‘唰唰地’就弄明白了。哥哥，那个泰朵拉到底是什么人啊？”
“我也经常这么觉得。泰朵拉她呀，之前还总跟我说不太会做数学呢。她很努力，也非常勤奋。尤里你也应该向她学习。”
“……唔，哦。”尤里皱起了眉，不过又马上耸耸肩继续说道，“米尔嘉大人也是风采依旧呢喵。米尔嘉大人到底是怎么学习的啊……”
尤里很崇拜米尔嘉，管她叫“米尔嘉大人”。
“米尔嘉也肯定是踏踏实实地在学呀。”
“是吗……话说数学归纳法也很有意思。关于所有自然数 n 的证明 ……
‘由 n 个奇数相加而得到的结果’相当于‘n 的平方’……咦？有点不对劲啊，哥哥。”
尤里慢慢抬起头，表情略显严肃。
“哪里啊？”
“为什么可以用等号？哥哥你刚刚定义了加号‘+’，还没有定义等号‘=’吧？”
我吓了一跳。
“啊……确实如此。”
尤里开始坏笑。
“不光没有定义等号‘=’，还没有定义属于号‘∈’呢！”
“这个……你说得对。”
“对吧！出现的大部分符号都还没定义呢！连全称量化符号‘’，推出符号‘’都没有定义。定义是由公理产生的吧？那么……”
尤里注视着我说道：
“哥哥，=、∈、、 这几个符号的公理在哪儿喵？”
不管要证明整数的何种性质，
都必须在某处用到数学归纳法。
因为，只要追溯至基本概念就会发现，
整数本质上是通过数学归纳法定义的。
——高德纳 9
9Donald Ervin Knuth，著名计算机科学家，算法与程序设计技术的先驱者、斯坦福大学计算机系荣休教授、计算机排版系统 TEX 和 METAFONT 字体系统的发明人，著作有《计算机程序设计艺术》系列等。—— 编者注
我的笔记（皮亚诺算术）
皮亚诺公理
加法运算的公理
乘法运算的公理
不等号的公理