去参加舞会吧，灰姑娘。
但是别忘了 :
只要半夜 12 点一过，
马车就会变回南瓜，车夫就会变回老鼠。
而你，就会变回那个蓬头垢面的灰姑娘。
——《灰姑娘》
4.1 家中
4.1.1 尤里
“啊～真是的！我不甘心不甘心不甘心啦！”
“怎么了，尤里？”
今天是二月份的一个周六，这里是我的房间。
就在不久前，玄关那边才传来尤里充满活力的声音“打扰了”，以及我妈的回应“来啦，外面很冷吧？”
不过，尤里一进房间就满脸阴沉，跟刚刚的声音正相反。她可很少会这样。
“昨天，人家输给了一个讨厌的男生。烦死了！讨厌讨厌讨厌！”
尤里摇晃着头，把马尾辫甩来甩去。
“喂喂，你在学校跟男生吵架了？”
“没有，是数学啦。那家伙出了这么一道题。”
问题 4-1
下面的等式对吗？
0.999 ... = 1
“原来是这么一回事儿啊。”
“然后嘛，人家就回答说：‘这等式怎么可能对呀’。”
“为什么？”
“因为是 0.999 ... 呀，刚好比 1 小不是吗？”
“是么？话说，那个男生怎么说的？”
“他一脸得意地说‘这个等式是对的’。啊～好不甘心啊！”
“他说了为什么对吗？”
“那家伙说‘1 等于 1’，然后就开始证明了。”
4.1.2 男生的“证明”
1 等于 1。
1 = 1
将等式两边同时除以 3。左边写成小数形式，右边写成分数形式。
将等式两边同时乘以 3。
分别计算等式的左右两边。
0.999 ... = 1
这样，就证明了 0.999 ... = 1。
◎ ◎ ◎
“我当时没能反驳他，好不甘心啊！”
“我觉得，作为初中生来说，他已经答得不错了啊。”我表示。
“诶？这样证明就可以？”
“嗯。不过严格来说，还有地方不对劲。”
“嗯……其实说真的，人家回家以后也想到了一个‘证明’。可是，0.999 ... = 1 是错的呀。因为等号‘=’是在分毫不差、精确相等时使用的符号啊。数学的魅力不就在于这种精确性吗？所以，我有‘疑惑’，这里就应该像 0.999 ... < 1 这样用不等号，而不是等号……”
“那你就跟我说说你想出来的‘证明’，还有心中的‘疑惑’吧。我们一起来思考，好吧？”
尤里刚刚嘴角还拉成倒 V 字形，听到我这句话，表情一下子明朗了起来。
“嗯！”
4.1.3 尤里的“证明”
“首先，你来讲讲你的那个‘证明’。”我翻开了笔记本。
0.999 ... = 1 的证明
“人家可能会证错，别笑人家哦。”
“当然不会。”
“人家认为，应该先研究 0.9，然后研究 0.99，再然后研究 0.999。”
“喔。”
“然后，1 跟 0.9 很接近，但是偏差 0.1。”
“你说的‘偏差’指的是？”
“啊……那个，就是只差 0.1。”
“你的意思是，它们的差是 0.1 ？”我往笔记本上写了个等式。
1 - 0.9 = 0.1
“嗯。对对，是差。原来如此，用等式来写就好了啊！我是照这个思路思考的，一开始是 0.9。”
◎ ◎ ◎
一开始是 0.9。
1 - 0.9 = 0.1
然后是 0.99。
1 - 0.99 = 0.01
继续这样下去。
无限循环以上步骤后，0.999 ... 跟 1 的偏差就是 0.000 ... 了。
1 - 0.999 ... = 0.000 ...
这样，右边的 0.000 ... 就等于 0 了。
1 - 0.999 ... = 0
因为偏差是 0，所以最后 0.999 ... 等于 1 ！
0.999 ... = 1
这样一来，嗯……Quod Erat Demonstrandum 1。证明完毕。
1即第 2 章中泰朵拉说的 Q.E.D.，意思是证明完毕或证讫。—— 译者注
◎ ◎ ◎
“证明完毕。”尤里说。
“你思考得很好嘛，尤里。你一个初中生能解释成这样，我觉得已经很棒了。”
“好开心喵。”她用猫语笑着回应我，然后又马上恢复了认真的表情，“可是，人家不喜欢‘你一个初中生’这个前提。”
“要想解释清楚，就得用数学方式把‘无限循环以上步骤’的部分说明白才行。”
“这样啊。那个，其实人家不太明白‘无限循环’那部分。人家还是觉得‘0.000 ... 比 0 要大一点’。这样的话，‘0.999 ... 就比 1 小一点’了。”
“哦哦，这就是你的‘疑惑’啊。”
“没错。哥哥，你听我说啊。”
4.1.4 尤里的“疑惑”
没错。哥哥，你听我说啊。
关于“0.999 ... = 1 不成立”的疑惑
0.9 比 1 小。
0.9 < 1
同样，0.99 也比 1 小。
0.99 < 1
重复以上步骤，就会出现下面这样的算式。
也就是说，不管走到哪儿，0.999…都还是比 1 小啊！
0.999 ... < 1 ？
可是我很疑惑，这样……真的对吗？
◎ ◎ ◎
“原来你是这么思考的啊。”
“嗯。我按着 0.9, 0.99, 0.999 往下思考发现，就刚刚的‘证明’来说，0.999 ... 会非常非常接近 1。而现在我很疑惑，因为‘不管走到哪儿，0.999 ... 都比 1 小’。它们俩在我脑子里打架。好烦啊，不明白喵。”
尤里“呼 ——”地叹了口气，看向我，仿佛在问“那正确答案是什么呢？”
4.1.5 我的讲解
“尤里，你把问题整理得很好，不过我还是想按照自己的方式再来总结一下。首先，我们思考这样一个‘数的序列’——数列。为了好懂，我们给这些数起名叫 a1, a2, a3, ... , an, ... 吧。”
“an 呀。”尤里点点头。
“在这里，n 表示的是这一串 9 的个数。这样一来，似乎就存在以下性质。就是这两个性质在打架吧？”
(1) n 越大，an 就越接近 1。
(2) 但是，不管 n 有多么大，an 都小于 1。
“对对，就是这两个性质。因为它们看起来都对，所以人家才烦恼的。到底哪个是错的呢？”
“尤里，听好了……”我注视着她。
“嗯……”她也注视着我。
“(1) 和 (2) 都是对的。”
“诶？”
“它俩都是对的。下面这两个说法，都是对的。”
(1) n 越大，an 就越接近 1。
(2) 但是，不管 n 有多么大，an 都小于 1。
“诶？可是，要是 (2) 是对的，0.999 ... < 1 就成立了啊。”
“不，不成立。0.999 ... < 1 是错误的，0.999 ... = 1 才正确。”
0.999 ... < 1 错误
0.999 ... = 1 正确
“抱歉，哥哥。人家现在超级混乱……”
“混乱？”
尤里沉思，我默默地等待着。默默沉思的时间。这个时间对数学来说非常重要。不被任何人搭话，不被任何人打扰，集中精神思考的时间……从厨房隐隐传来了我妈做菜的声音。
“我明白了，改变‘等号’的定义！数学家还真喜欢定义呀，我们定义‘在差很小的时候用等号’吧！”
我震惊了。
“答得很厉害！但是不对。0.999 ... = 1 里的等号，跟 1 = 1 里的等号是一个意思。这里不再重新定义。0.999 ... 跟 1 是分毫不差、精确相等的。”
“可是，那……不明白喵。”尤里一脸的不甘心。
这时。
“呀！啊！”
是我妈的喊声。
我跟尤里赶紧跑去厨房。
“怎么了？”
只见我妈穿着围裙，冲着敞开的冰箱慌了神。
“没有鸡蛋了，昨天晚上给用了！”
我妈转过身，盯着我，然后突然换了张温柔的脸。
“那个，打扰你们学习，不好意思……”
“咦？没鸡蛋不能做饭吗？”
“没有鸡蛋的蛋包饭，怎么能叫蛋包饭呢！”我妈理直气壮地说。
“我们还在学习呢……”
“没鸡蛋可就变成饭包饭了哟……”我妈双手合十，眼睛朝上望着我。
“好，好，知道啦。我去超市就是啦。”
“人家也去！”
4.2 超市
目的地
我让尤里坐在自行车后座上，载着她一起到了超市。外面真冷。
嗯 ……鸡蛋，鸡蛋。6 颗装的应该够了吧？
结完账走出超市的时候，尤里一把拉住了我的胳膊。
“呐，哥哥……那边有好东西。”
尤里指着的地方是卖冰激凌的。
“不行啦，我妈在等着呢。再说了，你不冷吗？”
“不要这样嘛……”尤里绕到我前面，像祈祷似地双手合十，眼睛朝上望着我。为什么大家拜托我办事的时候都同一个动作啊……唉，算了。
我买了两个香草味儿的甜筒，在吧台边上坐下。
“给，尤里。”
“嘿嘿，谢谢哥嘎！”
尤里笑容满面。
“真会哄人。话说，你心情好了？”
“嗯？什么啊？”
“忘了就算了。”
我俩舔着冰激凌，开始闲聊。
“话说，哥哥你将来要做什么？”
“诶？这个……话说回来，尤里你呢？”
“嗯……当律师吧。”
“诶？！是不是受电视剧影响的？”
“才……这，这个嘛，或许有。因为很帅气喵。可是，那个，哥哥你会不会在意妻子的收入比你高？”
“你这什么问题……”
“你不会在意吧？这点小事。”
“……话说刚刚那道题，画成图就是这样。”
我把冰激凌换到左手，在特价广告单的背面画了张图。
“这个人家知道啦。”尤里回答。
“在这里，0.9, 0.99, 0.999 这个数列无限接近 1。然后，无限接近的地方，也就是目的地，为 0.999 ...。”
“所以嘛，哥哥，0.9, 0.99, 0.999 这个往下延伸的数列虽然不会变成 1，但是会无限接近 1。这点我倒也不是不那么不懂。”
“到底懂还是不懂啊？”
“我感觉就像哥哥你画的那样，无限接近 1。可是，就算无限接近，0.999 ... 也不能变成 1 呀。”
她满脸不开心，舔了一口冰激凌。
“尤里，那我现在问你个问题，你用‘是’或‘否’来回答。 —— 0.9, 0.99, 0.999 这样一直延伸下去，其中会有数等于 1 吗？”
“否。无论 0.9 的后面有多少个 9，都应该会小于 1。”
“回答正确。”我说。
“啊～真是的，感觉好烦躁啊！明明无论 0.9 的后面有多少个 9，都不等于 1。为什么 0.999 ... 会等于 1 呢？！”
“这个嘛，稍等。尤里，这个问题呢？ —— 0.9, 0.99, 0.999 这样一直延伸下去，会无限接近某个数吗？”
“是。如果在 0.9 的后面不断地添加 9，就会接近 1，会无限接近。”
“嗯。回答正确。”我点点头，“下面重点来喽。0.9, 0.99, 0.999 这样一直延伸下去，无限接近‘某个数’的时候，这‘某个数’啊，有以下书写形式。”
0.999 ...
“书写形式？慢着，等一下！”尤里喊道。
她的发丝如黄金般闪烁了一下。
“怎么了？”
“我明白了，哥哥！人家明白了！让我来确认一下。”
“当然可以。”
“话说，0.999 ... 表示‘某个数’吧？”
“没错。”
0.999 ... 表示“某个数”。
“0.9, 0.99, 0.999 这样一直延伸下去，就会无限接近 0.999 ... 所表示的‘某个数’吧？”
“嗯，就是这样。”
0.9, 0.99, 0.999 这样一直延伸下去，就会无限接近“某个数”。
“虽然接近，可是即使 0.9, 0.99, 0.999 这样一直延伸下去，‘某个数’也是出不来的。这点也对吧？”
“嗯。很好，很好。”
即使 0.9, 0.99, 0.999 这样一直延伸下去，“某个数”也是出不来的。
“那这个 0.999 ... 所表示的‘某个数’就等于 1 啊！”
0.999 ... 所表示的“某个数”就等于 1。
“嗯。这就对了，你怎么突然明白了啊？”
“哥哥，人家明白啦。我也很明白自己不明白哪里了。人家啊，才意识到 0.999 ... 表示‘某个数’。”说着她舔了一口冰激凌，冰激凌已经开始流到甜筒上了。
- 0.999 ... 表示“某个数”。
- 0.9, 0.99, 0.999 这样一直延伸下去，就会无限接近“某个数”。
- 即使 0.9, 0.99, 0.999 这样一直延伸下去，“某个数”也是出不来的。
- 0.999 ... 所表示的“某个数”就等于 1。
“嗯嗯，我知道谁是犯人了，哥哥。犯人就是‘0.999 ...’这个写法！这让人分不清楚嘛！”
尤里咔吧咔吧地连冰激凌带甜筒一起嚼。
“这个嘛，写数列的时候，都是像 0.9, 0.99, 0.999, ... 这样，在最后加上省略号‘...’。所以我会认为在 0.9, 0.99, 0.999 的后面肯定会出现‘0.999 ...’。可是，不是这样的。0.9, 0.99, 0.999 的后面不会出现 0.999 ...。都是因为写成 0.999 ... 才会分不清！真是的！写个 之类的不就好啦！比如说，像下面这样。
- 0.9, 0.99, 0.999, ... 无限接近 。
- 并且，等于 1。
这么告诉我的话，我就完全不会混乱了啊。”
“是啊。”
“哥哥把刚刚我起名叫 的数写作‘0.999 .. .’了吧？这规矩要一开始就说明白嘛！真是的！这不就只是数的写法的问题了嘛！”
“看来你完全理解了啊，尤里。”
“哥哥，这个得想好久才能明白啊。就算老师讲了，我也一定会理解错。0.999 ... 指的不是数列里出现的数，指的是数列去向的目的地，可以不用到达那里。我很明白哥哥说的是什么啦。确实，0.999 ... 跟 1 是分毫不差、精确相等的。因为它是 0.9, 0.99, 0.999 接近的目的地嘛。”
“就是如此。”
“咦？这么说的话……这两个就完全不一样了呢。”
0.999 ... 等于 1
0.999 ... 9 小于 1
“对对。像 0.999 ... 这样，在数的最后加上省略号的，是数列去向的目的地；像 0.999 ... 9 这样，在中间加上省略号，最后又写上一个 9 的，是数列中出现的数。天差地别呀。”
“这，这个，好混乱啊！”
“可是，尤里你已经不会弄错了吧？”
“嗯……”
我忽然注意到了脚边的白袋子。
这是啥来着？
袋子里放着 —— 一盒鸡蛋。
“完蛋了！我妈还在等着呢！”
解答 4-1
下面的等式是对的。
0.999 ... = 1
4.3 音乐教室
4.3.1 字母的导入
“那个男生是尤里的男朋友吗？”泰朵拉问道。
“不是啦，怎么可能。”我回答。
“他肯定是想待在喜欢的女生身边吧。”泰朵拉露出不同于以往的笑容说道。
这里是音乐教室。现在已经放学了，米尔嘉和盈盈正在弹钢琴。我跟泰朵拉在教室的角落里小声聊着天。
盈盈是个美少女，有着一头波浪般的卷发，跟我和米尔嘉不在同一个班，但在同一个年级，都上高二。她还是钢琴爱好者协会“最强音”的会长。这位钢琴少女，除了上课以外基本上都泡在音乐教室里。听说她甚至获得了学校的批准，能够自由进出音乐教室。
盈盈和米尔嘉交替弹着钢琴，每弹完一曲，就对曲子进行评价。刚才，盈盈说想分别弹出“机械的巴赫 2”跟“空中的巴赫”，米尔嘉则说想弹出“正式的巴赫”跟“超群的巴赫”的区别。真复杂，不明白她们在说什么。
2巴洛克时期（即 17 世纪前后）的德国作曲家，管风琴、小提琴和大键琴演奏家。—— 译者注
我把我跟尤里的对话告诉了泰朵拉。
“尤里真聪明啊。我还觉得 0.999 ... 小于 1 呢。”
泰朵拉平常总是慌里慌张的，可是一提到尤里，不知怎么地，就会稍稍沉着一些。
“学长你跟尤里解释的时候，是用下面这种形式来表示‘n 个 9 排列成的数’的，对吧？”泰朵拉说道。
“嗯，对。因为用 n 这样的字母来表示，解释起来会轻松一些。an 的 n 叫作下标。与其用‘0.999 ... 9 里的 9 的个数’这种麻烦的说法，倒不如用下标这种说法，直接把它叫作‘an 的 n’更简洁，对吧？”
“啊，对。在思考数学的时候，我也希望自己能‘导入新的字母’，就像这个 n。可是，脑子不往那边转 —— 我感觉字母多了，就会变复杂。”
泰朵拉说着拿起自动铅笔，就像试笔时一样在自己的笔记本上写了写字母表。
现在是盈盈正在弹钢琴。米尔嘉抱着手臂站在她身后。有一瞬间，她朝我这边看了一眼，可是马上又把视线收了回去，看盈盈弹奏了。
4.3.2 极限
我跟泰朵拉继续解释。
“那我们来好好讲讲极限吧。”
◎ ◎ ◎
假设把 n 持续增大，an 就会无限接近“某个数”。此时，我们将这里的“某个数”称为极限值，写成下面这样。
举个例子，an 无限接近“某个数”（我们把这个数叫作 A）时，我们就说，“极限值等于 A”，可以用式子写成下面这样。
对了，我们有时也不用 lim，比如像下面这么写。
时
然后，我们把“数列无限接近‘某个数’”叫作收敛。也就是说，“收敛”跟“存在极限值”是等价关系。
我们把求极限值叫作“求极限”。
泰朵拉盯着我写的数学公式。
我盯着泰朵拉。
“学长，这种写法很好懂啊。”她指着下面这个式子说道。
时
数列的极限
持续增大 n，则 an 会无限接近数 A。
时
数列 收敛于 A
“是啊。人们在讲极限的时候经常这么用。”
“可是，下面这种写法对吗？”
“嗯，对呀。有哪里奇怪吗？”
“不能用箭头来表示‘无限接近’的感觉吗？”
“原来你是这个意思啊。不过，‘’是对会变化的量用的。 的意思是持续增大变量 n， 指的是通项 an 接近数 A。”
“嗯。”
“不过，在 an 收敛的时候， 表示的是一个已经确定了的‘数’。这个数不可能再变化了，所以我们不用箭头。”
错误
正确
“这样啊……”泰朵拉说着又捏了一把自己的脸颊，“话说，数列不总是收敛的吧？”
“嗯，没错。比如，我们思考一下这样的数列。”
10, 100, 1000, 10000, ...
“这个……越来越大了呢。”泰朵拉一下子把手举得高高地说道。
“没错。这个数列会无限变大。换句话说就是，它不会无限接近‘某个数’。因此，这个数列不收敛。我们把不收敛称为‘发散’。数列 10, 100, 1000, 10000, ... 是发散数列。我们把像这个数列这样无限变大并发散的情况称为发散至正无穷大。”
“等……等一下，学长。不能认为它‘无限接近无穷大’吗？”泰朵拉问道。
“这是不行的。无穷大不是一个数，所以就不是无限接近‘某个数’了。所以我们不说‘极限值无穷大’，也不说‘收敛至正无穷大’。我们只说‘发散至正无穷大’。”
“嗯……这样呀。”
4.3.3 凭声音决定音乐
“#C 3不行啦！”盈盈喊道。
3此处指升 Do，即 Do, Re, Mi, Fa, So 的 Do。——译者注
“是么……”米尔嘉回应道。
“就不能‘’地接下去啦！”
“喔……右手难唱原来是因为这个吗……”
盈盈跟米尔嘉一边说着话一边走到了我们这边。盈盈的表情有些纠结。
“休息？”我问。
“你们聊什么呢？”米尔嘉反问我。
“lim 好难啊。”泰朵拉说。
“是吗？”米尔嘉歪了歪头。
“我感觉差不多明白了什么是‘无限接近’，但是一旦像 lim 这样出现式子……我就不能很直观地看懂了。”
“lim 来自于 Limit，也就是极限。”米尔嘉说。
“是这样，可是一扯到式子我就……”
“打扰一下。”盈盈突然探出身子插了句嘴，“数学中之所以会用到式子，是因为式子是最好的表现手法。”
然后盈盈停顿了一下，看着自己的掌心，若有所思。她又翻过手，看着自己的手背。格外纤长的手指 —— 果然是弹钢琴的手指啊。
“音乐是凭声音的。”她看着自己的手说道，语气中透出少有的认真。“总之最后是‘声音’。如果能用语言表现世界，那用语言就可以了。不过，有些世界只能用声音来表现。”
随后盈盈用她那纤长的手指，指向自己的胸口。
“音乐 —— 属于我。能把我这胸口撕裂，并暴露出我正在激烈蠢动着的内心的，只有音乐。我是这么想的。我为了音乐呼吸，为了音乐进食。”
她的语气异于往常。我们一时语塞。
“有时候，有些人会说‘我不懂音乐’。这些人用一句‘不懂’就打发了所有无法用语言充分表达的事物，而不去直接品味音乐。就算不能用语言表现也无所谓。正是因为不能付诸言语，才凭声音来表现。想用言语形容的人不去听声音，光是一个劲儿寻找辞藻，而不去听演奏者奏出的关键的声音，不品味声音响起的时间以及声音飘荡的空间。不要寻找辞藻了！去聆听声音！……就是这么回事。”
“不去听声音？这就像想学数学却不看式子吧？”我联想道。
“啊！没错！”泰朵拉也发话了，“不认真看式子，就是不去看数学家创造出来的世界。不好好看式子，而被自然语言拖了后腿的话，就不是在研究数学了。是这个意思吧？”
“自然语言？”我不解。
“啊，就是 Natural Language 4。”
4即自然语言，指的是一种自然地随文化演化而来的语言，如英语、汉语、日语。与自然语言对应的有世界语。世界语言属于人造语言，是一种为某些特定目的而创造的语言。——译者注
“音乐跟数学完全是两码事，但又有着相似之处。”我说道，“演奏者奏出了声音，我们就要好好听。数学家写出了式子，我们就要好好看。就是这样。”
“重要的是，音乐拿声音当语言，数学则拿式子当语言。”泰朵拉说道。
“语言……？”盈盈问道。
“啊，就是最重要的‘表现形式’（Representation）。”泰朵拉回答。
“可能不一定是式子。”我说，“关于‘极限’的解释用到的是‘无限接近这个值’这种表述，而不是‘变成这个值’。要仔细看数学书上是怎么写的，这很重要。”
“总之……”盈盈说，“我创作音乐，创造音乐。我不确定未来能不能以音乐为生，但是，肯定会跟音乐有关，一定会……”
这时，盈盈两手“啪”地拍了一下。
“哎呀，我怎么都说出来了，羞死了，羞死了！”她看似害羞地一把拢起了长发。
“没事，盈盈你没问题的。你弹钢琴和作曲不是都很厉害么？”
“……你这人虽然钝，人倒是不错。”
“钝？”
“这个，‘纯’跟‘钝’长得很像啊。纯粹的迟钝。喏，就像‘三角函数’跟‘三角关系’只有一个词不同。知道么，‘天真’跟‘天才’只有一个字不同。还有‘质数’跟‘质优’也只有一个字不同……我去喝口水。”
盈盈唬了我们一通，从音乐教室走了出去。
4.3.4 极限的计算
“你告诉泰朵拉基本的极限了吗？”米尔嘉问我。
“诶？”
“比如说，这种题。”她往我笔记本上写了个式子。
问题 4-2（基本的极限）
“啊，这个，嗯……”泰朵拉困惑地看着我。
“那我来求一下这个式子的值。”我拿过自动铅笔。
◎ ◎ ◎
我来求一下这个式子的值。
这道题是求 的极限值，也就是求下面这个 。
n → ∞ 时
首先，我们来把数列具体写一下。因为“示例是理解的试金石”。
也就是说，我们只要回答下面这个问题即可：当持续增大 n 时，是否存在无限接近 的数？如果存在，则这个数是多少。
光看分母的话，很简单吧？分母是这么一个数列。
像下面这样写会让我们容易明白一些。
当持续增大 n 的时候， 也会无限增大，如果用式子来表示，就是下面这样。
n → ∞ 时
如果持续增大 n，分数 的分母也会无限增大。因为分母无限增大，所以分数 自身会无限接近 0。用式子表示时，可以写成下面这样。
n → ∞ 时
用 lim 这种写法的话，就是以下形式。
这样一来，我们就会知道存在极限值，且这个极限值为 0。
◎ ◎ ◎
“原来如此……”泰朵拉感叹道，“刚才听了学长你说的，我想‘当 n → ∞ 时，’能不能写成下面这样？”
解答 4-2（基本的极限）
因为当 n → ∞ 时，，所以 。因此答案如下：
“嗯，可以呀。有什么不对吗？”
“嗯……这样的话，怎么说呢，就好比 的极限值是 ∞ 似的，因为刚刚学长你说了，咱们不说‘极限值无穷大’……”
“哦哦，这个呀。我刚刚没解释清楚。∞ 确实不是数。在这里，我们是像下面这样来展开并定义等号的，泰朵拉。”
时
“数列 可以说是‘发散至正无穷大’吧？”
“嗯，可以。”我点头。
米尔嘉一直默默地听着我们的谈话，这时她突然开了口。
“下一道题。”
问题 4-3（基本的极限）
“诶……这跟刚才的不一样吗？”泰朵拉问道。
“刚才是谁强调说‘不认真看式子，就是不去看数学家创造出来的世界’来着？”米尔嘉问道。
“啊……是 ……是我说的。我看。”
泰朵拉又看了一遍笔记本。
“……我明白了，是不一样。我看漏了 （Sigma，西格玛）。可是，我算不太出来这个。lim、，还有……”
“换人。”米尔嘉的手滑过我的肩膀，回到了钢琴的旁边。
“我们想计算的是……”我对泰朵拉说道，“下面这个式子。
要想计算这个式子，我们得把精力放在求和上。
然后，思考如何用带 n 的式子来把上面这个式子表示出来。如果留着 ，处理起来会很复杂。首先，为了证实自己的理解——”
“要举出具体例子，是吧？”泰朵拉拿起了自动铅笔。
“对对。你能把通项也写出来吗？”
“啊，对呀。能写。”
（通项）
“嗯，这样就准备 OK 了，泰朵拉。接下来我们要用到常用的‘等式变形’。我们在等式两边同时乘以 ，然后把项偏移一个位置。”
“项偏移，就是每一个项里的 10 的指数都增加 1，对吧？”
“没错。这里我们从‘表示通项的等式’两边分别减去‘项偏移后的等式’。这样一来，中间的项就会相互抵消，‘唰’地一下消失。”
“啊！原来如此。除了开头跟结尾，其他的都抵消掉了。”
“接下来计算这个结果。”
“接下来，只要考虑‘当 n→ ∞ 的时候，这个式子的右边会怎么样’就行了。”
“当 n → ∞ 的时候，这个式子的……”泰朵拉嘀咕道，“ 这部分，极限值会变成 0 吧？因为分母 会无限变大。”
“没错。”我说，“换句话说，答案是这样。
n → ∞ 时
也就是说，是下面这样。”
解答 4-3（基本的极限）
“做完了？”不知何时，米尔嘉站在了我们身后，手里拿着乐谱，“那我们来算 0.999 ... 吧。”
问题 4-4
计算 0.999 ...。这里，我们把0.999 ... 定义如下。
“米尔嘉，你是按照这个思路来出题的呀……”我说道。
“你之前没注意到吗？”说着，米尔嘉在笔记本上展开了式子。
“也就是说，0.999 ... 等于 1。”米尔嘉说道。
解答 4-4
“0.999 ... 原来是能计算出来的呀……”
“因为我们定义的时候就定义了‘它能计算出来’啊。”我说。
“无限会欺骗感觉。”米尔嘉说道，“没有几个人能模仿欧拉 5老师。处理无限的时候，如果依赖感觉就会失败。”
518 世纪的瑞士数学家、自然科学家。——译者注
“这样啊……”泰朵拉应道。
“不要依赖感觉 —— ”米尔嘉看着我说。
“要依赖逻辑。”我接道。
“不要依赖语言——”
“要依赖式子。”
“是这样。”米尔嘉微笑道。
“啊，所以……”泰朵拉说道，“才在思考极限的时候，用 lim 这样的式子，而不用‘无限接近’这个词，对吧？”
“不过，为了更进一步讨论，我们还需要精确定义 lim 本身。”米尔嘉在我们身边踱着步说道，“当然，不能用‘无限接近’这个词。”
“诶……那要怎么办？”
“式子。”米尔嘉简洁地回答道。
“用式子，来定义 lim ？这，这这……怎么可能……”
“当今时代，能。”米尔嘉竖起食指，“人类是近些年才将极限掌握到如此程度的。柯西 6将极限概念导入数学，是在进入 19 世纪后；魏尔斯特拉斯 7用式子来定义极限，则是在 19 世纪后半期。”
619 世纪法国数学家、物理学家、天文学家。由于在数学分析学领域有诸多贡献而被称为“法国高斯”。——译者注
719 世纪德国数学家，曾受聘于柏林大学，被誉为“现代分析之父”。——译者注
这时，盈盈回来了。
“米尔嘉亲，继续练习！”
“用式子，来定义 lim……”泰朵拉小声念着。
米尔嘉“砰”地敲了一下她的头。
“是 - δ 语言 8！”
8数学分析中的一个方法，只使用（有限的）实数值来讨论极限。——编者注
4.4 归途
前途
米尔嘉和盈盈还要继续练习，所以我就跟泰朵拉两个人去车站了。她在我身后走着，距离我半步。不知从何处飘来了梅花的香气。
“感觉今天聊了好多啊。”
“对啊。”
我想起我们今天在音乐教室里聊的内容。盈盈很认真地看待音乐，打算从事音乐方面的工作。她在仔细考虑这件事，说“音乐属于我”。
“那个，学长你……将来有什么目标？”
“这个嘛……泰朵拉你呢？”
“我呀，我打算……从事能应用英语的工作。不过，最近我们在学计算机，计算机方面的工作好像也很有意思。我要是能像盈盈那样，能说自己正在为了无限接近目标而学习，那就好了……”
“是啊。”
如果换成泰朵拉，那她最后应该会说“英语属于我”吧。——这么说来，尤里说过想当律师。虽然不知道她有几分是认真的，不过这行没准还挺适合她呢。
“……是吧。”泰朵拉说道。
“是啊。”我恍惚地随口答道。
米尔嘉将来会干什么呢？会当数学家吗？话说回来，感觉那个才女哪行都能干……
……咦？
回过神来，泰朵拉已经落在我后面老远。她一个人停了下来。
“怎么了？”我赶紧折回去。
“……”她不回答，眼睛看着地面。我看不到她的表情。
“喂，怎么了？”我弯下腰，看着她的脸。
“我……”她用微弱的、模糊的声音说道，“我这人，什么都不行呢。”
“……为什么这么说？”
“我这人，什么都不行啊。”泰朵拉仍旧看着地面说道，“米尔嘉能谈论很高深的数学，盈盈能创作出很棒的音乐，可是我……我什么都不会。对我而言，因为学长你，数学才变得有意思了。可是，我净问问题来浪费学长你宝贵的时间。我什么……什么都为你做不了。”
“泰朵拉……你错了。我因为你，才有了毅力。分类讨论的时候，举例的时候，我都会想起你。这种对一件事坚持到底的努力精神，我是从你身上学到的。”
“……”她还低着头。
“所以啊，你还是可以跟之前一样，来随便问我问题。这还能反过来让我学到一些东西。”
“学长……”泰朵拉抬起头，面色绯红，“谢谢你。是呢……如果我有不明白的，那我就不客气，直接问你。可是，如果烦到你的话，请你一定要说哦。”
泰朵拉注视着我，接着说道：
“因为高考很重要。”
我们把数列 逐步接近的“目的地”
称为该数列的极限值，记作〔〕。
然后，我们称数列 收敛于 0。
注意，这里只是把数列指向的目标称为该数列的极限值，
并没有说数列会到达该目的地。
这绝不，绝不（Never ！ Never ！）
意味着数列在“经过无限的操作后”等于 0。
——《无限的悖论》[12]