数学家把负数的平方根称为虚数。乍看上去，这个概念似乎非常奇怪，完全背离了在这之前数字与现实世界建立起来的关系，仿佛是要证明数学与现实世界彻底断绝了联系。然而，随着时间的推移，人们在探索物质世界的过程中却发现虚数的作用异常广泛，而且关注现实的工程技术人员也离不开虚数，在每天的计算中都要用到它。
说到虚数，首先要从负数说起。数学家发现自然数的这些变体可以构成一个实用的数学概念之后，就对它们的数学特性进行了考量。他们发现，两个负数相乘就会得到正数。其中的道理并非一目了然，但是借助数轴还是很容易看清楚的。减号实际上表示数轴上的方向变化，因此，在正方向上变化两次方向，朝向的仍然是正方向。我们也可以换个方法，认为这是数学家做出的一个主观决定，但他们也是不得已而为之。对不同的决定稍加研究就会发现，这是与数学其他方面保持一致的唯一选择。
接下来，新的问题出现了。既然我们已经知道正数乘以正数的结果是正数，负数与负数相乘的结果也是正数，那么负数的平方根是什么呢？什么数的平方是负数呢？答案既不可能是正数，也不可能是负数。人们发现，可供选择的答案似乎并不多。
我们暂且不要急于沿着这个思路继续考虑下去，而是回过头来思考负数与现实的关系。我们从第2章得知，负数在记账的时候是有用的，它可以表示债务。在邻居来借山羊时，我们可以用负数表示与原来相比山羊减少的数量，也就是邻居借走的山羊的数量。但是，在这些例子中，其实仍然用的是正数，只不过形式特别。比如，我没有办法表示我欠你多少钱，我只能告诉你我需要还给你多少钱。那么，我能在现实世界中找出明确表示负数概念的东西吗？事实上，真的可以找到，条件是允许我突破自然数的范围。但是，在19世纪之前，没有人认识到这种可能性。
大家想一想电池两极上的标志：一个是正号，一个是负号。我们通常认为这种标记方法是本杰明·富兰克林发明的。实际上，刚开始的时候，这两个符号仅为了表示两者的不同，而不代表数学中正数与负数之间的区别。然而，我们现在都知道电子与质子携带的电量相同，电性相反。它们没有方向，本质上是纯粹的数值（数学家和物理学家称之为“标量”），与牛顿第三定律描述的大小相等、方向相反的作用力不一样。但是，它们与正负数一样，也可以相互叠加或者抵消。
虽然正负电荷的定义具有主观随意性，但是这些电荷都是实实在在的东西，特性与正负数相似。这似乎说明通过现代科学发现也能找到现实世界中的有理数。现在，我们知道质子、中子等粒子是由更小的粒子——夸克构成的，而夸克携带的电量是基本电荷的2/3或–1/3。尽管这些数值都不是近似值，而是一丝不差的精确值，而且看上去都是有理数，但是我们在将质子电量定义为1，将电子电量定义为–1时，我们并不知道这些粒子的电量到底是多少。实际上，夸克的电量是2或者–1，而质子和电子的电量分别是3和–3。
我们接着讨论负数的平方根。在数学家发现他们无法利用已有的数字表示负数概念时，他们就很随意地做出了一个决定——创造一种新的数字。他们之所以这样做，并不是因为他们需要负数，而是因为他们勇于探索，渴望了解数字世界的未知领域。笛卡儿不无讽刺地为这些数字赋予了一个非常妥帖的名字——“虚数”，这些稀奇古怪的数字也变成了数学家的新宠儿。数学世界仿佛又增加了一个维度，而且这个新维度似乎与物质世界不存在对应关系。刚开始时，虚数不过是数学家的玩具，但是这些玩具的灵活性高得惊人，适用于所有的数学运算法则。
米兰医生、数学家吉罗拉莫·卡尔达诺[1]在《伟大艺术：代数法则（第一册）》（Artis Magnae Sive de Regulis Algebraicis Liber Unus）中第一次提出虚数的基本概念，这本著作出版于16世纪上半叶。这本书之所以有名，原因可能与这本书在一定程度上涉嫌欺骗有关。卡尔达诺从同为数学家、工程师的尼科洛·塔尔塔里亚那里学会了三次方程（未知数的最高次数是3的方程，例如x3 + 4x2 + 2x + 5 = 0）的解法，并保证不会把这个方法告诉别人。但是，卡尔达诺把这个方法写到他的书中，并且公开发表了。他在致谢中充分肯定了塔尔塔里亚的贡献，因此这不算是剽窃行为，但是他显然没有遵守自己的诺言。
卡尔达诺还在书中顺便谈到了一个看起来无伤大雅的简单方程x2 + 1 = 0，并讨论了它的解法。这个方程与x2 = –1同解（第一个方程两边同时减去1就可以得到第二个方程）。除非某个数的平方是负数，否则这个方程无解。卡尔达诺说，这样的数“不仅没什么用处，而且难以捉摸”。后来经证明发现，这个评价与事实相差甚远。19世纪，德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯发现虚数可以方便地拓展数轴，形成二维的数字平面，至此，虚数的价值才表现出来。
我们已经知道，人们在考虑整数时，经常会想象一条左右两端分别向负无穷和正无穷延伸的水平直线，整数排列在这条直线上，0位于正中的位置。高斯沿着与这条直线垂直的方向画出了第二条直线，并让正虚数排列在朝上的方向，负虚数排列在朝下的方向。这样，平面上的任意点都可以用一个“复数”加以定义。复数是由一个实数和一个虚数构成的数。如果用i表示–1的平方根，那么5 + 2i就是一个复数，可以用来定义实数轴（横轴）上有5个单位、虚数轴（纵轴）上有2个单位的那个点。
我们也许会认为，这不过就是将坐标系上我们都非常熟悉的x轴、y轴换了个名称而已。但是，有了这个变化之后，我们就可以把复数当作普通数字进行代数运算，应用代数学的所有法则和方法，并最终得出适合这个二维空间的结果。事实证明，复数是描述各种波的理想选择，因为这些波天然地具有二维的形态。于是，在不知不觉间，虚数就无处不在了，从简单基本的电场计算到复杂深奥的量子力学方程，我们都可以看到它们的身影。只要在计算结束时舍弃虚数结果，就不会产生虚数值电流这样的结果。实践证明，复数的用途广泛，是一个强大的数学工具，并将继续发挥它的强大作用。
虚数是否真实存在呢？虚数显然不会与物质世界中的任何事物构成直接的对应关系。比如，我没有办法拿出3i个苹果。我可以从已有的苹果堆中拿出3个苹果，来表示–3个苹果，但即使是这种间接的办法，也无法表示3i个苹果的概念。然而，任何东西，只要它可以严格定义，而且遵从所有规则，就可以在数学世界中找到立足之地。由于虚数（特别是复数）可以有效地表现二维空间的变化，因此在它们历经艰辛闯入抽象的数学世界之后，人们发现它们竟然是解决现实世界难题的绝佳工具。
虚数提供的是一个现实世界所没有的工具。我们可以将现实世界的难题搬到虚数世界中，用虚数提供的特有办法加以解决，然后再把它们送回现实世界。自然数非常简单，我们可以认为它们与一个物体或者一群物体存在直接的对应关系。虚数和复数则活跃于一个平行世界中，但它们仍然可以启发我们，帮助我们了解物质世界的奥秘。
然而，在虚数真正地在实践中大放异彩之前，人们仍将借助传统而直接的正数和几何学，去征服神秘的宇宙。
[1] 吉罗拉莫·卡尔达诺（1501—1576），意大利文艺复兴时期的全能学者，古典概率论创始人。——译者注