一提到“培根”这个名字，大多数人肯定会想到那位创立科研方法雏形的16世纪政治家、哲学家——弗兰西斯·培根。但是，弗兰西斯对数学的态度近乎漠不关心。在他眼中，科学研究不过是收集、整理、分类。后来，伟大的物理学家欧内斯特·卢瑟福嘲笑说，在培根眼中，“科学研究，除了物理，就是集邮”。我下面介绍的“培根”是罗吉尔·培根，与弗兰西斯·培根没有任何关系，但是他看待世间万物的观点似乎更具现代性。罗吉尔说：“对数学一无所知的人，不可能了解其他科学和世间万物。”当时的社会根本没有认识到数字和数学对于人类理解自然的重要意义，培根希望改变这种局面。
培根这个人似乎非常有趣，但是他出生于800多年前，因此关于他的任何信息都难以确认。除了流传下来的一些逸闻以外，我们掌握的主要资料就是他本人的作品，所以我们只能根据其中的蛛丝马迹来推测他的生平。通常，人们认为培根出生于1214年。
1267年，培根在他的代表作《大著作》（Opus Majus）中写道：“我一直在努力地钻研科学、研究语言，从我学习第一个字母以来，已经过去40年了……40年来，我潜心研究，心无旁骛，其间只中断了两年。”人们通常认为，培根所说的40年的研究生涯（他在书中使用的拉丁语表达是“in studio”），是从他参加牛津大学入学考试的时间算起的，因为通过入学考试代表他正式进入了一所大学。当时，人们通常会在13岁时参加大学入学考试，据此可以推断出培根出生于1214年。但是，这就意味着培根说的“学习第一个字母”是一个非常隐晦的比喻，其实是指他开始从事正规研究的时间。如果这句话真的是指他开始学习字母的时间，那么他的出生日期就要向后推，估计在1220年。但是，人们普遍认为他出生于1214年。
据15世纪的历史学家约翰·劳斯称，培根出生于伊尔切斯特这座寂静的乡村小镇。但我们没有找到有关培根出生地点的其他资料（培根本人也从未提过他的家乡）。我们只知道培根进入牛津大学学习，而且他到了这里之后做的第一件事可能就是理发。学生在上大学之前必须完成某些宗教仪式，成为事实上的小僧侣。其中一个必不可少的环节就是理发，要把头顶上的一大片头发剃光。牛津大学成立之后，校园里最早出现的生意之一就是理发店。牛津大学现有的学院在那时候都还没有成立，也没有现代意义上的大学建筑。学生们都住在出租屋中，至于上课的地方，则是在老师们在市区租用的大房间里。
就这一点而言，这所大学与后来那所家喻户晓的现代大学几乎没有任何相似之处。牛津大学的历史可以追溯至1095年，当时，来自埃唐普的教师西奥博尔德决定在牛津创建一所高等教育学校。这座城市并不是英国创建第一所大学最理想的地址。英国有很多城市都建有大教堂，有建造教会建筑的传统，而且修道院现成的学习中心可以为教学提供便利。但是，在12世纪斯蒂芬与玛蒂尔达之间的战争爆发之后，烧遍全英国的战火证明牛津大学的选址是具有战略眼光的。英国人在为第一所大学选址时，选中了这里，也许就是因为牛津位于英国的中心位置，交通便利。
1209年，就在学校当局准备效仿巴黎大学（成立于12世纪中叶）大干一番的时候，一桩谋杀案差一点儿让牛津大学毁于一旦。由于某名学生（所有学生都应是禁欲者）的情人被谋杀，愤怒的市民仿佛变成了嗜血暴徒，叫嚣着要学生们血债血偿。政府官员立刻做出判决，绞死了另外两名学生，只是因为他们在错误的时间出现在了错误的地点。
学校当局没有弄明白一个问题：市民逼迫绞死无辜学生，与市民插手学校内部事务，这两种情况到底哪一种更难以忍受？结果，有70名老师（在全体教职人员中占相当高的比例）离开牛津市，来到东英吉利亚地区的一个名叫剑桥的落后小镇，加入了不久前创立的几所学校。庆幸的是，教会特使尼古拉斯来到英格兰规劝桀骜不驯的国王约翰，使牛津市恢复了秩序。1214年，牛津大学的基本结构被确定下来，但是直到1231年，才获得正式的特许证。
罗吉尔·培根入学时（可能是在1227年），牛津大学还是一所历史非常短的新学校。尽管从理论上讲，这所大学属于教堂体系，但是校园里洋溢着狂躁，甚至是危险的气息。贫民区中的致命攻击时有发生，有的是暴力殴打造成的，有的则是因为市民与大学生之间发生冲突。这些大学生的着装与城里的年轻人区别不大，但是他们颇有特点的发型肯定会暴露他们的身份。此外，来自英国南方和北方的学生因为分属不同的派系，也会发生激烈的打斗。
根据1238年的一份报告，我们可以很好地了解培根在牛津求学时所处的环境。这份报告称，新任教会特使奥托即将造访牛津市，并将在西南方不远的奥斯尼修道院下榻。一群老师和学生来到修道院欢迎特使，但是在这个愉快的欢迎仪式上却出了大乱子。一位爱尔兰学生在修道院门口祈祷时，修道院的大厨将一锅开水倒在这位不幸的学生身上。然后，另外一名学生掏出弓箭，射杀了这位厨师（即使在社交场合，携带适当的自卫武器也是必要的，是可以接受的）。
欢迎的人群一下子变成了群情激奋的暴徒。为安全起见，教会特使被偷偷地护送到了泰晤士河下游的沃灵福德。整个大学被严密控制，几个月后，学校中担任管理职务的老师们光着双脚，沿着伦敦大街走到教会特使住所请罪，之后情况才有所好转。培根说话一向直言不讳，又没有从事这种政治活动的天赋，要在学校里出人头地非常困难，因此他不大可能从事管理工作，应该也没有参加这次活动。至于那些学生，他们很快又恢复了以往的狂暴作风。
攻读学士学位大概花了培根6年时间（别忘了，中世纪大学教育的前半部分基本上是传授中学教育的内容），攻读文学硕士学位又花了他两年时间，因为担任大学教师必须拥有文学硕士学位。接下来，他可能又花了8年时间获得神学硕士学位。要获得只有神学领域才有的博士学位，他还需要再花8年时间潜心研究，但我们没有找到相关证据。之后，培根来到巴黎大学。由于法国曾经禁止各大学介绍亚里士多德的成果，当他们重新将这些内容纳入教学范围之后，却发现在本地已找不到可以胜任的老师，所以牛津大学毕业的硕士在巴黎大学深受欢迎。当时，西方国家普遍认为巴黎大学是最好的三所大学之一，另外两所是牛津大学和剑桥大学。
培根在巴黎大学只待了几年，但是他在那里结识了马里库尔的彼得。彼得是一个非常神秘的家伙，人们称他“流浪者彼得”（Peter Peregrinus）。现存于世的最早研究磁力的论文中，有几篇就是彼得撰写的。彼得将培根的兴趣引向科学，在他的启迪下，培根对实验产生了极大的热情。13世纪40年代后期，培根回到牛津大学，花了很多钱购买书籍和实验工具。1267年，培根写道：“20年来，我放弃了寻常的方法，专门研究智慧。我花了2 000多英镑，购买各种书籍、语言学习材料、器材和数学用表等。”当时，建造一幢大房子的成本是2—3英镑。尽管培根的这个说法有些夸张，但是为了科研事业他肯定动用了家庭财产。数学已经成为培根理解周围世界的一个重要工具。
回到英格兰之后，培根很快就加入了一个成立不久的宗教团体——方济各会，原因可能是他的钱花完了。这些穿灰袍的方济各会修士正在牛津市建立一个庞大的机构，覆盖的范围从牛津市南门一直延伸到西边的城堡。与圣本笃会等成立时间更久的修道会的修士相比，方济各会的修士享有更多的自由。而且，在牛津，宗教团体还与大学建立了紧密的联系。加入方济各会后，培根得以接触到大量书籍，而且有充分的时间研究自然哲学。自此之后，培根开始了无忧无虑的生活，直到1250年，他被派遣到巴黎的女修道院。培根说，他在那里待了10年，做的都是“低贱的工作”。这些遭遇很可能是因为培根经常直言不讳地表达自己的观点，令权威人士深感不安。
在巴黎逗留期间，培根产生了改革历法的念头。他发现当时使用的儒略历还是罗马时代的产物，一年的时长比精确值大约多出11分钟。计算结果表明，每125—130年（确切数字是128年），该历法给出的四季交替时间与实际情况就会相差一天。差距似乎并不大，但是从沿用这套历法以来，总的时差已经超过一个星期了。这意味着宗教节日的日期是错误的，这让培根无法容忍，因此他提出改革历法，但是他的申请石沉大海。直到1582年，基督教国家才开始采用格里历，这套历法与培根当年详细描述的方法几乎一模一样。而英国直到1752年才接受新的历法；美国受当年殖民统治的影响，全国各地大多采用各自殖民者的历法，这种混乱局面持续了几十年时间。
培根在巴黎的时候，方济各会为了重新扎根于穷困潦倒、缺衣少食的人群，通过选举产生了新的领导人。这位领导人决定引领这些灰衣修士远离学术机构，还禁止他们著书立说。但是，培根难以割舍那份对科学的情怀，因此他多方努力，希望可以绕开这条禁令。他写信向几位重要人物求助，其中包括教会派驻英国的特使、主教居伊·德富尔克。培根告诉主教，自己想写一本科学方面的书，但又不敢违背禁令，因此恳请得到主教的特许。但是，德富尔克误解了他的意思，在回信中说他希望马上看到这本（还没动笔的）书。
培根写那封信的本意其实是寻求资助。由于家里的钱已经用完了，方济各会又不提供支持，他需要从外界得到资助，才能着手收集资料。结果，德富尔克不但没有提供资助，反而提出了一个要求。就在培根焦虑不安，不知道如何回应主教的这个要求时，他收到了一个意想不到的消息。1264年，德富尔克被召唤到佩鲁贾。原来，枢机团[1]选举他担任教皇。第二年，他加冕成为教皇克雷芒四世。一夜之间，培根的这位身居高位的朋友登上了权力的巅峰。
1266年，克雷芒四世写了封信，允许培根着手进行科学研究，并授权他可以不遵从禁令。但是，培根仍然需要想办法筹集资金，他试图向朋友求助，但是朋友的支持非常有限。1267年1月，他决定向教皇递交一份简短的写作大纲，介绍他未来的那部代表作——《大著作》，恳请教皇提供资金支持。写过非小说类作品的人都知道，撰写创作大纲是一项非常痛苦的工作，需要作者将整本书的内容压缩成简明扼要的介绍。
培根无法满足这个必要的限制条件，他的“简短”大纲最终变成了一本厚厚的书，篇幅超过50万个单词（大概是本书的6倍），内容涉及光学、天文学、力学、炼金术、农业和医药业，最后还用了一章着重讨论实验科学。在请人誊写这份大纲时（当时，创作全部是用纸笔完成的），培根想，这份大纲太长了，已经失去了大纲的意义，因此他需要再附上一封信。结果，这封信也写得很长，变成了另外一本书。令人惊奇的是，这一幕第三次上演，第三本书就这样产生了。最后，他寄给教皇的是三本书，共计约100万个单词，创作时间总计12个月。（实际上，他当时只寄出去两本书，因为信使出发时，第三本还在誊抄过程中。）
这时候，培根已经开始整合牛津大学的资源，准备撰写他那部酝酿已久的大作。但是，从欧洲大陆传来的消息令他万念俱灰——克雷芒四世死了。而此时，他寄给克雷芒四世的信还在路上。在教会中，有人认为只需要掌握神学知识就可以了，有人对科学则一无所知，所以教会中几乎没有人支持培根。于是，培根对这种现象发起了猛烈的抨击。写于1370年的一部编年史称，培根因“思想怪异”而受到谴责。他可能被关进了意大利中部城市安科纳的一所监狱，直到1290年才被释放。根据劳斯的记录，培根死于1292年。
培根其实不算一名伟大的数学家，但是他留下来的《大著作》一书却是一部无与伦比的杰作，详细地描述了当时已揭示的自然奥秘。这本书最特别的关注点是，数学对于自然哲学家（甚至神学研究者）的重要意义。培根在学术上的前辈罗伯特·格罗斯泰特（Robert Grosseteste）也非常重视对数学本质的研究，他们两个人显然为未来的研究指明了方向。此外，培根还指明了历法改革的发展方向。正因为如此，他把自己放到了一个非常有趣的所谓“祖父效应”的位置上。
我们习惯于给某个人贴上“某某之父”的标签，这里的“某某”是指处理某个问题的全新方法，例如“计算之父”、“太空飞行之父”。但我认为，“祖父”的角色有些微妙的区别，“祖父”会指出一个非常宽泛的方向，或者一条充满艰辛的道路，但是通常不会告诉人们如何沿着这个方向顺利地走下去。一段时间之后，“父亲”这个角色就会出现在继承结构的直线上，并且朝着最终结果迈出非常重要的一步。
我认为，维多利亚时期的摄影师埃德沃德·迈布里奇就是电影的“祖父”。（他的真名叫作爱德华·马格里奇，但是他行事高调，经常重塑自己的形象。）他先是为加利福尼亚的铁路大亨利兰·斯坦福工作，后来进入宾夕法尼亚大学。他通过连续触发一组照相机的方式，拍摄出马、人和其他动物运动的系列照片。利用现有条件拍摄出这些静止照片，本身就具有重要的价值，可以提供大量信息。迈布里奇还借助一台简陋的投影仪，将这些照片转变成真正的动态影片，尽管影片的长度非常短。1893年，他甚至还在芝加哥郊区举办的哥伦比亚世界博览会上建造了第一个专门放映电影的剧院。
迈布里奇出人意料地把这座影院命名为“动物实验摄影厅”（Zoopraxographical Hall）。他在这座全尺寸专用建筑中举办教育讲座，介绍自己的成果。但是实际上，观众们花25美分购票的目的是观看大屏幕上的拳击比赛和衣着暴露、来回走动的美女。（迈布里奇喜欢捕捉衣着暴露或者赤身裸体的人物形象，他甚至拍摄过表现裸体泥瓦匠干活场景的系列照片，目的是研究他们的肌肉组织。）尽管迈布里奇的照片质量得到了人们的一致认可，但是在相当长的时间里，他的动态影片却遭到无视，部分原因是一位电影史学家发起了一场联合抵制运动，号召人们忘记他的这些作品。当然，迈布里奇的技术注定不会成功，因为主流技术需要使用胶卷。但毋庸置疑的是，他展示了电影的概念，并因此赢得了“祖父”的地位。
同迈布里奇一样，培根并没有昂首阔步走在数学领域的发展道路上，但是在大多数学者对数学嗤之以鼻的时候，他却独树一帜，强调了这门学科的重要性。当时，神学是唯一可授予博士学位的学科，因此培根很可能有一种自卑情结。但是，他仍然指出，当代的神学研究者对数学的重要性不屑一顾，是因为他们不知道数学可以发挥什么样的作用。现在看来，造成这个局面的部分原因是数学与魔术之间的联系让人们感到不安。
培根本人对于魔术是持严厉批评态度的，他指出这是骗子常用的伎俩，目的是从那些没有受过教育的人身上骗取钱财。但是在当时，很多人，甚至包括某些学者，都会把魔术与数学混为一谈。这个误会是一个非常不幸的巧合造成的。表示科学知识的单词读作“matesis”，而表示占卜的单词读作“mathesis”，但是这两个单词都写作“mathesis”。甚至到了都铎王朝，还发生过类似的现象，人们用“calculating”（计算）这个词表示玩魔术，将数学文本与介绍魔术的文本混为一谈的情况时有发生。
毫无疑问，罗吉尔·培根在数学上的造诣并不深。他在《大著作》一书中就犯了一个低级错误。为了证明亚里士多德的知识不全面，他举例说这位古希腊哲学家曾承认不知道如何化圆为方，接着他又说，“如今，人们已经非常清楚如何解决这个问题了”。但是，我们知道，化圆为方，或者说只使用几何学的常规工具——直尺和圆规，画出一个与圆面积相同的正方形，自古以来就是一个令数学家头疼不已的问题，而且人们已经证明这个问题是无法解决的。
尽管培根水平有限，但是他敢于在那个时代强调数学的重要性，毋庸置疑是非常了不起的。17世纪末，与艾萨克·牛顿同时代的英国数学家约翰·沃利斯给牛顿在数学领域的冤家对头戈特弗里德·莱布尼茨写了一封信：
在本世纪，一些人（追随伽利略的步伐）把数学归入自然哲学的范畴，从而大幅度推动了物理学的发展。400年前（甚至更早），罗吉尔·培根（从黑暗的百年历史中脱颖而出的一位伟人）也做过同样的努力。
在《大著作》一书中，数学整整占据了一章的篇幅，尽管其中还涉及历法改革、占星术等其他内容。对于那些从小就被告知占星术根本不科学的人而言，把占星术纳入其中可能是一个令人扫兴的选择，但是培根毕竟要受到所处时代的影响。培根对占卜算命者所用的占星术嗤之以鼻，认为占星术就是在利用轻信心理骗取普通人的钱财。但他也认为，出生时天体的排列分布有可能影响人们的性格。正因为占星术的这种表现形式（一种先天与后天之争），培根那个时代的人认为占星术有可能发展成一门潜力巨大、地位崇高的科学。
天体的排列分布几乎不可能对人产生影响，但是培根那个时代的人无从了解这个事实。考虑到当时的科学水平，占星术有可能影响人物性格这个说法（与某些现代企业钟爱的迈尔斯—布里格斯人格类型测验有几分相似），在那些从事这项活动的人看来是有道理的。培根认为，科学在很多方面都要借助数学这个工具，原因是科学可以从数学中获益：
数学是自然科学的大门和钥匙……对数学一无所知的人，不可能了解其他科学和世间万物……更糟糕的是，对数学一无所知的人不会认识到自己的无知，因此也不会考虑如何做出补救。而且，掌握这门科学之后，我们的大脑会更加聪明，为清楚了解世间万物做好准备。因此，如果大脑理解了这门科学的基础知识，并且利用这些基础知识来探查其他科学以及世间万物，所有问题都将迎刃而解，不会留下任何疑问，也不会造成任何错误。
对于培根而言，数学不仅是一种工具、一种思维方式，还是逻辑的一种结构化应用。不懂数学的人无法理解，它可以帮助大脑更好地思考并理解自然。接着，培根论证了数学对于我们理解其他科学的重要意义。以光学（培根深入研究了这门科学，不仅提出了一些新颖的理论，还完成了一些实验）为例，要学好这门科学，首先必须正确理解角、几何学和对称等相关内容。
认为应该将数学纳入教学范围的不止培根一人。（当时的教育已经包括了一些数学内容。由算术、几何学、天文学和音乐等4门学科组成的“四艺”在大学课程设置中占有相当大的比例，这4门课要么直接属于数学，要么核心内容与数学密切相关。）但是，培根看到了数学对于各门科学的重要意义，他将数学从自己的独立王国中解放出来，指出它可以为我们了解自然界提供帮助。这才是培根出类拔萃的地方。
总的来说，培根的观点在几百年时间里都没有引起人们的注意。然而，数学王国中也曾有几道闪电划过黑暗的天空。其中一道“闪电”来自牛津大学，即“牛津计算师”，也称作默顿学派、默顿数学家。他们人数不多，但都与牛津大学的默顿学院（牛津大学最早成立的学院之一）有关，他们充分认识到了数学（和推动数学发展）的重要性。
这个学派（托马斯·布拉德沃丁和威廉·赫特斯柏立是其中的代表人物）研究逻辑、几何学和计算方法，但是他们最著名的成果是落体定律，即“平均速度定理”。该定理称，在相同的时间内，如果第一个物体做匀加速运动（例如由高处掉落），第二个物体以第一个物体最终速度的一半做匀速运动，那么在该段时间内两个物体的运动距离相等。有意思的是，布拉德沃丁及其同事的研究之所以具有重要意义，最主要的原因可能在于他们的研究背离了亚里士多德对运动的理解，反而有点儿接近于伽利略和牛顿的观点。重要的是，亚里士多德研究数学的动力来自纯粹的哲学，而在默顿学派的眼中，数学可以帮助我们得出答案这个作用更重要。
14世纪的法国学者尼古拉·奥雷姆是拓展数学思维的又一个杰出代表。我们现在使用的幂运算就是他的研究成果。两个底数相同的指数幂相乘，直接把指数相加即可，例如，y2×y3 = y5。此外，他还探索了分数指数幂（例如x1/2）的可能性，但我们现在使用的幂的概念在当时还没有确定下来，因此他使用的是一种间接的研究方法。与默顿学派的成果相比，他在摆脱现实的抽象化道路上走得更远。默顿学派研究的正方形与立方体都与观察运动物体的特性有关。
奥雷姆可能是第一个提出用图像表示数学结构的人。这个成果不是很抽象，但是重要性却丝毫不减。今天，我们理所当然地认为图像表示法非常有效，不仅可以帮助我们更直观地了解函数（例如函数y = x2），还可以帮助我们深入研究微分和积分等概念（在介绍微积分时，我们将讨论这两个概念）。奥雷姆至少是推广这个方法的第一人（当时称作“形态的幅度”），他甚至还考虑了将这个方法推广至三维空间的可能性。
通过强调数学和实验的重要性，培根及其中世纪的追随者们在当时的自然哲学与未来的真正科学之间架起了一座桥梁。对于培根来说，数学是一种工具，可以帮助我们理解世间万物，但是它本身绝不能真正地摆脱与现实的联系。他从未接触过虚数和复数的概念，也许反而是件好事。
[1] 枢机团或称枢机院，是天主教会的最高宗教机构。——译者注