于是这两个独立的世界，
或者说这两份独立的孤独所能互相给予的，
不是比各自孤单、羸弱时更多了吗？
——《来自大海的礼物》
8.1 重叠的对
8.1.1 泰朵拉的发现
三月来了。从风中可以感觉到春天的气息。
明天就是毕业典礼了……不过我才高二，其实跟我没啥关系。今天放学后，我照常去了图书室。活力少女正坐着研究数学。
“泰朵拉，你来得真早啊。”
“啊！学长！”她把视线从笔记本上移开，抬起头笑了笑。
“是村木老师的卡片？”我在她身旁坐下。
“啊，是的。”
（重叠的对）
我们把由两个自然数构成的组合叫作对（pair）。
(a, b) 自然数 a 和自然数 b 的对
如果对于两个对 (a, b) 和 (c, d) 而言，存在 a + d = b + c，我们就说 (a, b) 重叠于 (c, d)，记作 。
“这问题真不可思议呢。”泰朵拉说道。
“本来就不算是个‘问题’。”我苦笑道。
“这个是……研究课题对吧？自己出题自己解……”
“没错。话说回来，a + d = b + c 好像有点什么含义啊。”
“学长，这次能先听听我的分析吗？”
“当然可以呀。”
“我看到这张卡片的时候，觉得这里面的每个词都不难。也就是说 ——
- 两个自然数
- 构成的组合
- a + d = b + c
这些说法都不难。而且，也没有出现像 、、lim 这样的符号。可是就算这样，把这些当成一个整体来看的话，我还是完全——完完全全不明白。这很神奇啊，明明每个词的意思都理解，但是却看不明白整句话。”
“是啊。”我点点头。
“不过，可不能在这儿就气馁，对吧？我觉得，要想找到‘不明白的初始点’，应该一步一步、踏踏实实地思考。”
“这想法很了不起嘛。”
“我最先做的，就是根据‘示例是理解的试金石’来尝试举出具体的例子。我首先举的是……”
◎ ◎ ◎
我首先举的是“对”的例子。卡片上写着“我们把由两个自然数构成的组合叫作对（pair）”，所以，我就在笔记本上写了几个对的例子。比如，假设 (a, b) 中的 a 等于 1 时，b 等于 1, 2, 3, ...，这样一来，我们就能得到下面这些对。
然后，当 a 等于 2 时，我们就能得到下面这些对。
另外，我还随便写了一些对。
写着写着，我就想到：“原来如此。因为这些对都是由自然数构成的，所以不会出现 0”。也就是说，没有 (0, 0), (0, 123), (314, 0) 这样的对。
我自己都很惊奇，我竟然发现了这一点。学长你经常笑我是“总忘记条件的泰朵拉”。的确，我总是忘记条件。不过，我居然能发现“不会出现 0”这个条件。仔细思考具体例子的话，就能发现条件中的细微之处。我发现了这一点。我发现了‘我发现了这一点’……这就是“元发现”吧。
然后我就想：所有对构成的集合是什么样的呢？我们刚刚具体举了几个对，这个集合的元素就是这些对，是吧？可是，我虽然像下面这样把这个集合写了出来，却并没有什么重大发现。
我最不明白的是卡片上写的“重叠”这种说法，还有 这种写法。啊……不能这么说。这些只是说法跟写法的问题，其实还好。真心让我费解的是下面这个式子。这才是我“不明白的初始点”。
这个式子本身的含义是“a + d 跟 b + c 相等”，这我当然明白。可是，So what ？所以呢？
这个式子表示的，是某个对重叠于其他对的条件。这点我明白……可是这个式子到底意味着什么呢？
式子不难，可这里好像有一堵透明而坚硬的墙壁，而我“咣”地一下撞到了墙上，没法再往前走了。
◎ ◎ ◎
“……没法再往前走了。”泰朵拉用双手作出“咚咚”锤墙状。
“话说，泰朵拉。”我说道，“你相当厉害啊！虽然你理解起来需要花很长时间，可是一旦理解了，就能把学到的东西完全消化吸收。我觉得，你这种不轻言放弃的劲儿，真的是一股巨大的力量。”
“是、是么……”泰朵拉红了脸。
“我也还不明白这张卡片哪里有趣。不过，我们再用一次‘示例是理解的试金石’看看吧。”我说。
“再用一次……指的是？”
“刚才你想理解的是下面这个吧。
那么，我们就往 a、b、c、d 里代入具体的自然数，来看看‘重叠的对是什么样的’，怎么样？”
“啊！对啊。就是举几个具体的重叠的对的例子吧？我明白了。麻烦先给我点时间。”
泰朵拉紧张而专注地看向笔记本。我注视着这样的泰朵拉。她心里想的都直接写在了脸上：瞪大眼睛是在想“啊，我或许明白了”；皱着眉头是在想“不对不对”；歪着头咬着嘴唇是在迷茫“要怎么办才好呢”；眼神游移后，抬着眼看我则是在开始想“是不是问问学长比较好”……
我突然想起了泰朵拉之前说过的一句话。
“因为高考很重要。”
高考、高考、高考。我为什么要参加高考呢？小学跟初中那会儿，我从来没想过为什么要参加升学考试。因为初中成绩不错，就升到这所重点高中来了。
数学、数学、数学。我为什么要学习呢？学习眼前的事物，然后想进一步学习，就去买了书。村木老师也给我介绍了一些书。不过，以后呢？
“学长，我试着写了几个例子。”泰朵拉把笔记本拿给我看，“因为卡片上写的‘对’重叠的条件就是 ，所以只要找到满足式子 的四个自然数就行了，对吧。比方说，因为 1 + 2 = 1 + 2，所以我们只要设 a = b = 1，c = d = 2，就能得到一组重叠的对。”
“是这样。”我说。
“此外，根据 1 + 3 = 2 + 2 这个式子，我们还能得到一组。”
“没错，看来能得到很多组呢。”
“嗯……对对，我举了具体例子才注意到，如果‘外项相加’等于‘内项相加’的话，对就会重叠。比如说，a + d 就是把 a 和 d 相加……
和
你看，这就是把‘外项’相加。然后，b + c 就是……
和
看，把‘内项’相加了。不过到这里，我还是觉得 So what……”
“对啊……原来如此。”
“我还发现这跟‘比’很像。比的性质是‘外项之积等于内项之积’，对吧？比如说，因为 2:3 等于 4:6，所以 2 和 6 这两个外项的乘积就等于 3 和 4 这两个内项的乘积。
相对地，(2, 3) 跟 (4, 5) 这两个对重叠时，2 和 5 这两个外项的和就等于 3 和 4 这两个内项的和。
也就是说，对的性质是‘外项之和等于内项之和’，对吧？话说，比的性质和对的性质还真像啊！”
“是哦……”
“我还写了一些其他的重叠的对的例子。”
“……呐，泰朵拉。我也发现了点东西，或许能带给我们很大的启发呢，要听听看吗？”我说。
“啊？嗯，当然要听。”
8.1.2 我的发现
“我看到这个式子，马上就想到‘移个项吧’。
你看，这样一来，我们就能得到下面这个式子。
换句话说，就是这么回事。”
“诶？”泰朵拉大大的眼睛转了转，“学长，这就是说，当 a - b 等于 c - d，即差相等时，(a, b) 和 (c, d) 这两个对才重叠……？”
“是这样。”
“可、可是……我还是完全不明白。”
“我也是。这张卡片里的‘对’，指的到底是什么呢……”
8.1.3 谁都没发现的事实
这里是礼堂，现在众人正在为明天的毕业典礼做准备。
老师和学生们正在摆椅子，以及为讲台装饰花朵。
“还不能回去么？真没效率呀。”盈盈说道。
“明天之前应该能准备好吧。”米尔嘉说道。
“当然了，明天就该正式上场了。”
学校委任盈盈和米尔嘉在毕业典礼上弹钢琴伴奏。
我跟泰朵拉从图书室回来，顺路过来看了看她们两人的情况，本来想也许大家能一起回去呢。
“你们要弹什么？”我问道。
“《萤之光》。”盈盈回答道。
“还要弹校歌。”米尔嘉回答道。
也是，传统曲目嘛。
米尔嘉刚开口说了个“我们”，盈盈就赶紧拿手指戳了戳她，然后两个人就都沉默了。米尔嘉到底想说什么呢……
“这次不是拿‘奖状’而是拿‘证书’，对吧？”泰朵拉说着指向讲台上挂着的写有“毕业证书颁发仪式”的横幅，“奖状是‘表扬的文件’，证书是‘证明的文件’。”
“颁发‘证明毕业的文件’的仪式……么？”我说道。
“毕业生就是定理呗。”米尔嘉半开玩笑地说道。
8.2 家中
8.2.1 自己的数学
我在自己的房间里，现在是夜晚。
时针已经走过了晚上 11 点，马上就到半夜了。
我坐在书桌前，学校的作业已经写完，现在我要开始思考自己的数学。
自己的数学……我回忆起高一的时候。
高一的春天，村木老师建议我“每天研究自己的数学”。那时候我认为，每天研究数学是理所当然的事儿。因为我喜欢数学。但是，高中生活是很忙碌的。有很多课程，每天都要预习、复习，还有考试。当然，还有学校的活动。在这种情况下，必须有一种“每天去研究自己的数学”的意识，才能坚持到底。因此，村木老师给我的意见很宝贵。
8.2.2 表现的压缩
老师给的那张“重叠的对”的卡片很奇妙：它并不是让证明一个恒等式，也不是让解方程式。卡片里只是用由自然数构成的组合定义了“对”这个概念，并通过 这个式子定义了“重叠”，仅此而已。
我不知道要思考些什么，要怎么思考。虽说按经验而论，村木老师的卡片最多是一个让我们“学习的契机”……
我们已经找到了几个在由对构成的集合中成立的性质了。例如 (a, a) 这种形式的对都互相重叠，也就是下面这样。
证明瞬间就能完成。对于任意自然数 m、n，存在 m + n = m + n，因此对 (m, m) 和对 (n,n) 重叠。
然后，把 a + d = b + c 这个式子变形成 a - b = c - d 的话，就可以说“在 ( 左, 右 ) 中，左和右的差相等的对互相重叠”。例如，差是 1 的对互相重叠。
（左 - 右 = 1）
同理，差是 -1 的对也互相重叠。
（左 - 右 = -1）
但是，所以呢？这又怎么样呢？我不明白……
我想起了泰朵拉说过的话。
“这就是所谓的‘装作不知道的游戏’吧？”
不过，我现在并没有装作不知道。当时，泰朵拉刚接触到皮亚诺公理。事实上我们并没有去思考后继数表示的是什么，而是只跟着公理去往下思考。跟着公理，渐渐看到了自然数的结构。公理是制约条件，制约条件衍生出结构……咦？
咦？
这次的式子 a - b = c - d 也像是一个制约条件啊……对并不是分散的。把 a - b 的差相等的对，也就是重叠的对收集起来，就能构成一个集合。这个制约条件到底会衍生出什么样的结构呢？
我注视着笔记本思考着。
由跟 (1, 1) 重叠的对构成的集合可以写成下面这样。
接下来，怎么往下思考才好呢？
“人的心会把具体的例子压缩。”
米尔嘉总这么说。
“在构建具体例子的过程中，下意识地找寻规律，发现较短的表示方法”。
简短的表示方式 —— 原来如此，用集合的内涵定义就能简短地表示出来了。
嗯，如果以 和 为前提条件，就能更简短地表示出来。
其他集合也可以这样来表示。例如差是 1 的集合。
或者，差是 -1 的集合。
确实，比起列举元素，这样表示更简短。
再进一步缩短的话……
缩短……诶？
我明白了！
我不由得站了起来。
对……会变成整数么？
自然数是 1, 2, 3, ...，而整数是 ..., -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, ...。
对！没错！
自然数的对的集合，会构成整数！
“差为 n 的对的集合”能够跟“整数 n”一一对应。
我感到有种美妙的东西正在我眼前闪烁。
不过，只是有了对应关系，也没什么意思。
把对的集合看作整数，这是自然而然的吗？
整数的话，就必须有点什么吗？
什么才是整数的本质？
许许多多的问号从我的心底涌现。
我做了一次深呼吸。
先做个加法运算试试吧。
对的集合是整数时能马上实现的，是加法运算。
能定义对的加法运算“”，而不是自然数的加法运算“+”吗？
要令 是什么样的对呢？
没有什么公式，我也没有在背诵什么。
我必须真真正正地靠自己的能力来想出“对的加法运算”。
问题 8-1（对的加法运算）
定义 (a, b) 和 (c, d) 这两个对的加法运算 。
8.2.3 加法运算的定义
要怎么定义对的加法运算，才能形成跟整数的加法运算一样，也就是同构 1 的结果呢？
1同构（Isomorphism）是在数学对象之间定义的一类映射，它能揭示出在这些对象的属性或者操作之间存在的关系。——译者注
同构是含义之源。
我按捺不住这份不可思议的兴奋之情，仿佛某种东西即将产生了。
虽然自由，却受着制约。虽然受着制约，却 —— 自由。
必须看穿隐藏的结构。看穿之后，就能体会到一种无可替代的喜悦。
对的加法运算 —— 首先应该从哪里开始考虑呢？
……嗯。因为我想同等看待对 (a, b) 跟整数 a - b，所以是不是只要参照整数范畴内的加法运算就可以了呢？
进行 a - b 跟 c - d 的加法运算，形成“左－右”的形式就好了吧。
很好很好，不错啊！也就是说，左边变成了 a + c，右边变成了 b + d。换句话说，我想让两个对的和变成下面这种形式。
噢！就是说，把左边这一堆和右边那一堆加起来就好了么？也就是说，使用 (a - b) + (c - d) = (a + c) - (b + d) 这个式子来把对的加法运算定义成下面这样，这个主意如何？感觉靠谱！
很好很好。那么，接着就尝试一下用对来实现与 1 + 2 对应的计算吧。例如，因为 1 = 3 - 2，所以选 (3, 2) 当作与 1 对应的对；因为 2 = 3 - 1，所以选 (3, 1) 当作与 2 对应的对。然后，根据“对的加法运算”的定义来进行计算。
嗯，很好！因为 6 - 3 = 3，所以说得通！
说得通……不，等一下。这是理所当然的啊！我想说明的跟这个很像，但又不是这个……嗯，脑子乱了，整理一下吧。我现在想要对比思考整数和对，“=”和“”，还有“+”和“”。感觉这些都能整理成统一的形式，可是……
……对啊，先别管加法运算了，“相等”这个概念都还乱七八糟着呢。我还没有好好定义 (a, b) 跟 (c, d) 这两个对相等指的是什么。合适的定义应该是像下面这样的。
然后，让我担心的事情是下面这些。
在像 这样定义了对的加法运算后，对于以下 X, Y, Z, 成立。
- 跟 (a, b) 重叠的任意对 X
- 跟 (c, d) 重叠的任意对 Y
- 跟 (a + c, b + d) 重叠的任意对 Z
因为 成立，所以感觉“对”是“整数”。这样，就能发现下面这样的“两个世界”的对应关系。
这个发现真是让人心跳不已。
解答 8-1（对的加法运算）
可以用以下式子定义 (a, b) 跟 (c, d) 这两个对的加法运算。
啊！难不成，跟 (a, a) 重叠的对与整数 0 对应？
喔喔！难不成，把 (a, b) 的左右互换而得到的 (b, a) 是？
好，我要试着更进一步发掘这个对的性质！
8.2.4 教师的存在
现在是凌晨两点，我站在厨房里。
往杯子里倒上水，一口气喝光。
我之后又定义了对的符号变换、对的减法运算、对的大小关系。
用自然数的对来定义整数。有意思。
构建新的数字的世界也是数学呀。数学，真是一个越学越深奥、越学越广阔的世界。
我看着杯中残留的水滴，想到村木老师。老师向我们提出了一个不太难又不太简单的问题。
“换成你，会怎么挑战这道题？”
会对你说上面这种话的人，其存在本身就很珍贵。教师的存在……么？
好的，看来整数也能做了，那就睡吧。哈哈，说什么“整数也能做了”，搞得像拼装塑料模型似的。我边哧哧地笑着边做着睡觉的准备。
在关上卧室灯的那一刹那，泰朵拉的话突然在我脑海里一闪而过。
“比的性质是‘外项之积等于内项之积’……”
然而，还没来得及研究这句话的含义，我就进入了梦乡。
8.3 等价关系
8.3.1 毕业典礼
今天是毕业证书颁发仪式 —— 我现在在礼堂。
毕业生接二连三登上讲台，领取毕业证书。
明年的现在，我会是怎样的心情呢……我边这么想着，边打了个哈欠。昨晚完全没睡够。
校长致辞、嘉宾寒暄……仪式安静而严肃。现在总算要结束了，负责主持的老师走向麦克风，麦克风轻轻“嗡”了一声。
——毕业生，退场。
《萤之光》的旋律开始流淌。毕业生依次起立，从在校生中间穿过，走出礼堂。我们这些在校生则用掌声为他们送别。我正要再打个哈欠 —— 却突然睁开了眼。
刹那间，毕业生的脚步停下了。
刹那间，在校生的掌声也停下了。
因为此时响起了一首新的乐曲，它的旋律好似从《萤之光》中流淌出来一般。
这是我们熟悉的旋律。这……
是校歌。
校歌跟《萤之光》同时流淌而出。
大家的目光一下子都集中到钢琴那边。
正在那儿弹奏的，是盈盈和米尔嘉。
她们在用重混 2 的手法弹奏《萤之光》跟校歌。
2重混（Remix）是一种音乐技术，应用于歌曲的原来版本，经过重新混音，形成另一种版本。——译者注
诶？还能把这两首歌混在一起弹？
和弦 3 要怎么办？
3在音乐理论里，和弦（Chord）是指组合在一起的两个或更多不同音高的音。——译者注
不过，两种旋律都没遭到破坏，都在优美地流淌着。
在《萤之光》和校歌的相互作用下——
我们心中泛起了无法言说的涟漪，满是回忆。
我们情不自禁地回忆起在这所学校度过的日子。
迷茫、焦躁、烦恼、闲适、学习、愤怒、喜悦……
内心冷不防地被这些情绪撼动，泪水不由得涌了上来。
毕业生、在校生……当然，其中也包括我。
来到这所高中后，我遇见了米尔嘉，遇见了泰朵拉。然后，我体会到了一起学习 —— 教人、被教，比赛解题 —— 的喜悦。
“一、一、二、三。”“学、学长！”“我找到了一个很好的对应。”“放学时间到了。”“对，说的是呀！”“计算错误。”“小数学家？”“证明是一瞬间的事儿。”“怎么读啊？”“唔……”“快递快递！”“这样就成了除以 0。”“啊呀呀！”“快乐的旅行。”“我一生都不会忘记。”“我已经记住了，你放心吧。”“学长，大发现大发现！”“除了表示虚数单位以外，还会有什么呢？”“我不明白。”“如果半径为零的话也要保持一定距离吗？”“我会加油的！”“你还没发现吗？”“我有问题！”“好了，到此为止我们的工作就结束了。”……
不过，时间会流逝，时间在流逝。数学超越时间留传下来，而时间拂过众生不断流逝。有相遇，也有别离。
我已无法止住眼中汹涌而出的泪水。
就这样，今年的毕业典礼闭幕了。
但泪水随音符渗入心底，这首盛大的毕业终曲，也成为了令人难以忘怀的回响。
8.3.2 对衍生的产物
“诶……原来用对能构成整数呀。”泰朵拉感叹道。
“是啊。”我回答。
毕业典礼这天，我们仍然在图书室研究数学。
我跟泰朵拉讲解了我昨天晚上的成果。而她似乎也被卷入了那首毕业终曲的漩涡之中，眼睛周围又红又肿。
“不过，再准确点儿说的话，不是对跟整数对应，而是‘由互相重叠的对构成的集合’跟‘一个整数’对应。”
“喔……”
“把对于 (a, b) 这个对进行的操作看成对于 a - b 这个整数进行的操作……”
隐约的香气……
我一下子回头，看向身后。
“你这么急着回头，是怎么了啊？”一如既往的、冷冷的声音。
站在我身后的是米尔嘉。
8.3.3 从自然数到整数
“我跟盈盈被叫到老师办公室去了。”米尔嘉说道，“因为我们之前没打招呼说要重混。”
“咦？你们挨骂了吗？”泰朵拉问道，“明明弹奏得那么感人……”
“倒是没怪我们，老师也在苦笑 —— 话说，这张卡片是？”
我把“重叠的对”的卡片递给米尔嘉，说了我得出的结论。
“唔……这样啊。可是，你的解释有点无聊啊。”
批评开始了！
“不过，把与 (a, b) 重叠的集合跟 a - b 作同等看待这个思路，很好啊。”
米尔嘉轻轻扶了扶眼镜，摇了摇头。
“为什么村木老师要用下面这种定义呢？虽然你一下子就移项了……”
“是有什么特殊的含义吗？”泰朵拉说道。
“没有那么深奥。要是我们知道整数，用你这种方法也可以。可是，比如，假设我们‘装作不知道’整数吧。然后，我们用自然数的组合来新定义整数。”
“定义……整数……”泰朵拉下意识地说道。
“要是我们只知道自然数，就会出现 a - b 未经定义的情况。例如，2 - 3 在自然数范围内就是未定义的。因此，用 a - b 来定义‘重叠’不太好。”
“……原来如此。那如果换成 +，就没关系了吧？”我也下意识地说道。
“a + d 和 b + c 的话，在自然数范围内还不足以达成未定义的条件，所以我们可以放心地用下面这个式子来定义‘重叠的对’。”
8.3.4 图
“还缺一点。你完全没画图呀。”
又被批评了！
“你的弱点是不肯画图。”
“图？可是……”
“你是这么定义对的和的。”米尔嘉说道。
“要是我，一看到这个，就会想起‘矢量的和’……”
米尔嘉总是把向量叫作矢量。
“向量的和……啊，确实如此。它跟对的和形式完全一样！”
“学长学姐，我越来越跟不上了……”来自于泰朵拉的投诉。
“因为 a、b 是自然数，所以先在第一象限里画出格点 4。”
4数学上把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点（Lattice Point）或整点。坐标平面内顶点为格点的三角形称为格点三角形，类似有格点多边形的概念。——译者注
米尔嘉拿起我的自动铅笔，在笔记本上画出格点。
第一象限里的格点
“x 坐标是 a，y 坐标是 b 的格点可以视为矢量 (a, b)，也可以视为对 (a, b)。那么，就这个格点的所有情况的集合来说，我们应该如何用图来表示‘重叠’这个概念呢？如果能用图表示出来，那么我们也就能明白，村木老师为什么要用‘重叠’这个词了。”米尔嘉说道。
“啊，这点我也很在意。”泰朵拉说道。
“我们像下面这样把重叠的对用线连起来试试。”
把“重叠”的对用线连起来
“诶？！重叠的对是斜着排列的呀！”泰朵拉吃了一惊。
“原来如此……‘重叠’的对在二维平面上真的是斜向‘重叠’的吗？”我说道，“这一条条斜线对应着重叠的对的集合。也就是说，一条斜线对应一个整数，对吧。”
我说着，在斜线的右上方写下了整数。
一条斜线对应一个整数
“要写的话，这么写比较好。”
米尔嘉从我的手中抢过自动铅笔，把斜线向左下方延伸。
影子斜着落下的位置是对应的整数
“啊……这样呀。往 x 轴上射影的话，影子就会刚好落在对应的整数上……诶？等一下。如果对的和也是向量的和，那么我们随意画个向量的和的图形，然后观察向量的和的射影，就会发现它正是向量在 x 轴上的和？”我问道。
“当然。把格点上某个位置矢量的和斜向射影的话，就会得到整数的和。例如，把 射影的话，影子就会刚好落在 (-1) + 3 = 2 的位置。”
向量的和
射影后，就变成了整数的和
“……”我说不出话来。
整数的和 —— 区区的加法运算。
然而却能被看作是二维向量的和的“影子”！
虽然我还不知道这个发现在数学上有着什么样的意义，但是我感到很多事物是相连的，是紧密地联系在一起的。此时的我因为太过感动而说不出话来。而且，我们只花了少许工夫 —— 举出具体例子、思考式子、用图思考，这一切就呈现在了我的眼前。
“我们从‘重叠的对’继续往下思考，看看等价关系吧。”米尔嘉说道。
8.3.5 等价关系
看看等价关系吧。
我们把由所有对构成的集合称作 。
然后，在集合 中，重叠关系“”已被如下定义。
“”这种关系有自反律、对称律、传递律的性质。
自反律可以用以下式子来表示。
该式子表示的是，即使以自身为对象，“”这种关系也能成立。
由于这就像是反射在镜子里似的，所以我们把它叫作自反律。
对称律可以用以下式子来表示。
该式子表示的是，即使把左边和右边互换，“”这种关系也成立。
传递律可以用以下式子来表示。
该式子表示的是，如果由 A 可以到 B，由 B 可以到 C，则可以跳过中间的 B 直接由 A 到 C。
自反律、对称律、传递律合起来叫作等价律。此外，满足等价律的关系叫作等价关系。“”这种关系也属于一种等价关系。
◎ ◎ ◎
“这三个性质不都是理所当然的吗？”泰朵拉问道，“比方说，这三个性质在等于‘=’里也成立呀。”
“‘等于’是等价关系，这没错。”米尔嘉点头，“因为原本等价关系就是把等号创造出的关系一般化而得来的。等价关系体现的是‘在某种含义上相同’。”
米尔嘉往上推了一下眼镜，继续说道：
“我来举个不是等价关系的例子。例如数的大小关系‘<’。对于这个关系，传递律成立，而自反律和对称律不成立。”
“啊，是这样呢。”泰朵拉说道。
“带等号的大小关系‘≤’则是自反律和传递律成立，对称律不成立。”
“a ≤ a 成立……吗？”
“成立。因为‘a ≤ a’是‘a < a 或 a = a’呀。”
“喔……也是啊。”
“那么，泰朵拉我问你，对不等于‘≠’这个关系来说，这三个性质中的哪一个会成立呢？”
“这个……因为它是等于的反义词，所以这三个性质都不成立？”
“回答错误。”米尔嘉说道，“不能凭主观印象来回答。必须逐一确认才行哦，泰朵拉。”
“啊……对称律成立呀。”泰朵拉说道。
“等一下。”我插了句嘴，“对于‘≠’这种情况，不是‘传递律不成立’，而是‘传递律不一定成立’吧？因为……”
“这里是我没说明白。”米尔嘉说道，“我在解释自反律、对称律、传递律之前，应该事先声明‘对于所有元素来说’这个前提的。也就是说，只要对于一个元素来说不成立，那就是不成立。”
“米尔嘉学姐……”泰朵拉小心翼翼地举起手，“这三个性质我基本明白了。可是，刚刚学姐说的‘把等号一般化’这个地方我还不太懂。因为讨论数字的时候，或是讨论集合的时候，我们都会用到等号，这本来就很一般化了吧……”
“等价关系指的是刚刚说的满足等价律的关系。换句话说，满足等价律的三个性质的关系都可以看作是等价关系。从等号具备的特殊性质中提取出三条，寻找具备这些性质的其他关系，例如‘对重叠’这种关系。因为‘对重叠’这种关系是等价关系，所以能适用于等价关系的性质全都能适用于‘对重叠’这种关系。”
“等一下，麻烦等一下，我有 Déjà vu5。好像以前我们也讨论过类似的 ……”
5法语单词，意思是“既视感”，也可译为“幻觉记忆”，指人在清醒的状态下第一次见到某场景，却感到似曾相识，是一种常见于大多数人的生理现象。——译者注
“群论。”米尔嘉说道。
“没错！把满足群的公理的运算都同等看待成群……”
“把等于这种关系拆个七零八碎，从里面提取出三个特殊的性质，然后构建一种具有这些性质的其他关系 —— 这里出现了分析跟综合的思路。明白么？”
“分析跟综合？”
“分析 —— Analyze，也就 是‘拆分’。综合 —— Synthesize，也就是‘合成’。经过拆分、合成，理解就会变得深入且有趣。”
“靠等价关系能办到些什么呢？”我问道。
“就是你之前干过的事儿。”
“诶？我干了什么来着？”
“去‘除’集合了呀。”
8.3.6 商集
“去‘除’集合？”
“对。用等价关系去除集合。我们来回忆一下你都干了些什么吧。由所有对构成的集合 里包括无数的对，你用等价关系‘’把‘由重叠的对构成的集合’跟‘整数’互相对应了起来。把由所有对构成的集合想象成第一象限里的格点，把由重叠的对构成的集合想象成斜线就好。根据‘格点的集合’构成‘斜线的集合’，就相当于进行除法运算。”
“……”
“集合除以等价关系，就能得到一个新的集合。我们把这个新的集合叫作商集。由所有对构成的集合除以‘’，就能得到一个以‘由重叠的对构成的集合’为元素的商集。我们如下表示这个商集。
这个符号很奇怪。总之呢，这个符号就是‘集合 / 等价关系’的一种直截了当的表示方法。”
“那个……麻烦稍等一下。关于这个商集 ，我完全没有具体的概念啊……画在图里是斜线，那么从数学角度来说又是个什么样的东西呢？”
“看来光用说的，还是讲不明白啊。”米尔嘉说道，“那么，我用外延表示法写一下 吧。”
“原来如此……构建了一个集合的集合呀。”
“用集合除以等价关系，从而构建商集 —— 这种手法很常见。”
“是……是么？”
“举个例子，有理数。有理数集可以看作是一个‘元素是成对的分子和分母的集合’除以‘比相等’这个等价关系而得到的集合。”
“啊！”我惊道，“这就是泰朵拉之前说的那个吧。”
“诶？我吗？”泰朵拉用手指着自己，一脸困惑。
“你想想，你不是说过吗？对的性质 —— 外项之和等于内项之和，跟比的性质 —— 外项之积等于内项之积很像。”
“喔……”看来她还没反应过来。
“作为商集的有理数肯定会是这种形式啊！”我往笔记本上写道，“那么，假设把分子、分母的对写成 ( 分子, 分母 )……”
“泰朵拉你注意到了有理数啊。”米尔嘉说道。
“没……只是觉得对跟有理数的形式很相似。”
“在数学领域里，若‘形式’相似，则‘本质’也相似这种情况很多见。”米尔嘉说道。
“用比相等这个等价关系当除数的想法很有意思呀。”我说。
“如果用比相等这个等价关系当除数……”米尔嘉说道，“这个商集的元素就会变成由比相等的对构成的集合。分数的约分计算遵循‘比不变’的原则。也就是说，约分这种计算能让元素不跳出由比相等的对构成的集合。”
“啊……这么说来确实是这样。”泰朵拉说道。
“此外，我们有时会从商集的各个元素 —— 聚集了相同元素的集合 —— 里面选出一个元素，这个元素叫作代表元素。”
“代表元素……”泰朵拉重复道。
“英语叫作 Representative。”米尔嘉说道。
“Represent 6这个集合的元素？”泰朵拉问道。
6意为代表。——译者注
“对。如果我们想把‘’定义为商集的各个元素之和，就必须先声明答案不取决于如何选择代表元素。也就是说，‘’必须是 Well-Defined 7的。”
7意为定义明确。——译者注
“啊……对对，昨天晚上我就一直在想这个。”我说道。
“除了有理数，商集还有很多种。例如整数集除以‘除以 3 而得到余数相等’这个等价关系后得到的商集合 。”
“把‘’这个符号里的‘’视为表 示‘无视 3 的倍数差异’的等价关系的符号即可。”米尔嘉说道，“除此之外，我们还能想出很多关于商集的例子。例如，由我们学校里所有学生构成的集合除以‘同年级’这种等价关系，就能得到以‘由同年级的学生构成的集合’为元素的商集。这个商集有三个元素，分别是‘全体高一学生的集合’‘全体高二学生的集合’‘全体高三学生的集合’。”
“学长！米尔嘉学姐！我有个重大发现！”
泰朵拉嚷道。
“你发现什么了？”我问道。泰朵拉说的“发现”一般都跟数学上的重大发现相关，因此不可小觑。
“难不成……难不成村木老师想跟我们玩个文字游戏，不是‘Peano 算术’而是‘Pair No 算术’8？”
8“Pair No 算术”的说法与日语有关，其中的 No 即日语单词「の」的罗马字拼写，意思是“的”。因此“Pair No 算术”意即“对的算术”。此处是一种谐音，即音同词不同的文字游戏。——译者注
四下沉默无声。
“如果，是这样的话……”我吞吞吐吐。
“希望并非如此啊。”米尔嘉冷冷地说道。
8.4 餐厅
8.4.1 两个人的晚饭
“妈，晚饭吃啥？”
现在是晚上。等了许久都没有开饭，于是我跑到餐桌前问道。
“今天你爸说不回来吃饭，我没什么心情做……”我妈说道，“这样吧，我们也偶尔出去吃一顿吧。嗯……吃意大利餐。”
我妈带着我，开了 30 分钟车，来到了一家位于郊外的餐厅。菜肴的香气迎面扑来。“Buona Sera9！”招呼声很洪亮。开朗热情的意大利人包围了我们。我妈点了海鲜意大利面和沙拉，我点了披萨。
9意大利语，“晚上好”的意思。——译者注
“糟了，咱们开车来的，喝不了红酒呀！”
“禁止酒后开车。”我说。我妈听到后一脸不情愿。
8.4.2 一对翅膀
在等待上菜的这段时间里，我四下看了看店内。既有情侣一起的，也有全家人一起的。吉他的伴奏声非常大，但并不让人感到难受。店里的伙计围在对面的桌子边，唱着生日快乐歌。
“呀，披萨好像烤好了。”
我使劲嗅着香味儿说道。
“说起来，你从小鼻子就好使……可惜闻不到自己身上的味儿。你在幼儿园尿裤子那次……”
“别说啦，妈！”
“不过，现在你马上就上高三了……时间过得真快呢。”
我妈把手支在桌子上，托着下巴看向远方。
马上就上高三了……我突然感到一阵害怕。
热闹的吉他声、小孩的笑声突然都消失了。
我是为了什么而学习呢？
虽然有人常说“年轻人身上潜藏着无限的可能”，但时间是一维的。
要把哪种可能性射影到自己的时间上呢？我们必须作出选择。
“我说，妈。”
“什么事？”我妈抬起头问我。她正在研究甜品菜单。
“我……在干什么呢？”
“跟漂亮的老妈吃饭。”
“总感觉……有一种要从悬崖上摔下来的心情，明明什么都还没准备好……可是还有一个月就上高三了，还差一年就高考了。日子过一天，我就离悬崖近一点 —— 地面在慢慢消失。我该怎么走呢？”
“往天空飞？”我妈说道，“如果没有地面，往天空飞就好啦。”
“诶？”
“‘啪嗒啪嗒’挥动两只翅膀的话，就能飞起来。你可能不信，但是你能飞。左边和右边，有这么一对翅膀就足够啦。悬崖不就是为了飞翔而存在的么。你在害怕什么呢？”
“学校的成绩再怎么好，也不行啊！我……”
“跟成绩什么的没关系。你是我生的。你开始走路那会儿，我还记得很清楚。你摔倒过好几千次，还记得吗？”
“怎么可能记得啊！”
“在你会走之前，摔倒了多少次啊……可是你现在先迈右脚后迈左脚，迈完左脚迈右脚，很自然地在走着啊。明白吗？你不要紧的。因为没准备好所以担心？说什么呢，人生就是要勇敢冲撞尝试呀！”
我妈用拿在手里的菜单隔着桌子敲了一下我的头。
“尽全力去拼吧！不要紧，你肯定能走稳，肯定能飞起来。”
“……”
我妈这一席话支离破碎，从逻辑上来讲含义也不明确。但不可思议的是，我的心居然恢复了平静。因为是妈妈说的话么？
“人的一生，会遇到各种各样的事。你三岁那年冬天，有天夜里下了大雪，你发着高烧，咳得很厉害，差点死掉了。下着大暴雪，车都开不动，你爸也还没回家。你妈我啊，就背着你一直走到了邻镇的医院……到医院的时候我已经跟雪人没两样了，还问人家‘这里是八甲田山 10吗’。”
10日本青森县中部火山群的总称，以高耸险峻、严寒冰冷著称。——译者注
这故事我已经听过好多回了。连“这里是八甲田山吗”这句话都一模一样。我平常总是说“够啦，别再讲啦”……可是今天听起来，却似乎有一点不一样。
菜上来了。
“来，我们吃吧！”
我往披萨上浇上掺了辣椒的橄榄油，咬了一口。
好吃极了。
8.4.3 无力考试
饭菜快吃完了，我妈再次拿起甜品菜单。
“这个看起来很好吃！ Torta Cioccolata 好像是巧克力挞，Crema Catalana 应该是法式焦糖布丁吧。甜品菜单上得配照片才行啊，只有文字说明，哪知道是什么样的呀。”
“是啊。”
“你需要无力考试啊。”我妈眼都没抬，继续看着菜单说道。
“无力考试？”什么意思啊？
“跟实力考试相反的无力考试。你干嘛要一个人绷得死紧？你得加把劲好好放松才行。大家都非常喜欢你。”
“大家？”
“没想到你小时候那么认生，现在倒还挺抢手的呢。这帮女生也挺有眼光的。对了，下次带着她们一起去兜风吧？嗯，一定很欢乐。”
“拉倒吧，拜托你不要自作主张啊。”我说道。
“老妈我来开车，副驾驶给米尔嘉坐。泰朵拉跟盈盈，还有尤里也会想来吧。嗯嗯，你看，坐五个人刚好不是吗？”
“那我坐哪儿啊？！”
数学，是一门给不同东西赋予相同名字的艺术。
——庞加莱