关播的字叫务元，是卫州汲县人。天宝末年，考中了进士。邓景山任淮南节度使时，任命他为从事，多次升官后任卫佐评事，又升任右补阙。他善于分析事物的原理，尤其精通佛教学说。大历年间，神策军使王驾鹤的妻子关氏因关播和她同姓，对他很好。元载厌恶他们互相往来，把他调出京城任河南府兵曹，代理过几个县的政务，都有政绩。陈少游主管浙东淮南道，又任命他为判官，后又当过检校金部员外，代理滁州刺史，李灵曜反叛，在汴州一带横行。陈少游亲自率军镇守淮河，各地出现了盗匪，关播调集检阅了各州的留守军队，命他们保卫地方。他执政简朴实惠，又没有盗匪，人们都安心了。杨绾、常衮当宰相掌权，推荐他任都官员外郎。
唐德宗即位，湖南地区山区洞穴中有个叫王国良的，纠集人马为匪，皇帝命关播去招降他们。临行前，皇帝在别殿里召见他，问他治国的关键。他回答说：“治国的关键，应是访求得道的良才，这样才能治理好。”皇上对关播说：“我曾颁布诏令求贤才，将亲自考核，也命黜陟使，广泛访求推荐，提拔任命其中有才能的人，以期能辅助治理。”关播又说道：“下诏令求贤才，黜陟使推荐，只能得到有名的会写文章的人，哪有得道贤才愿按规定参加考试呢？”皇帝赏识他的话，对他说：“你先去出使，回来后再和你谈论治国的事。”关播又报告说：“我现奉命去招降，王国良如不服从命令，我请求相机行事，叫附近官府迅速出兵消灭他。”皇帝说：“你的话正合我的心意。”他出使回来后，被调任兵部员外，又升任河中府少尹。
建中初年，张镒任河中府少尹。张镒不久到京城任宰相，建中二年(781)七月，提升关播任给事中。按过去惯例，各部门文书档案库都由小官吏掌管，长期存在弊端，关播首先提议任用科举出身的官员共同管理，到现在被认为恰当。后被调任刑部侍郎、奉迎皇太后副使。卢杞因为关播温和耐心，认为他容易被控制，极力称赞推荐他。不久他升任吏部侍郎，后又任刑部尚书、知删定。他上奏说上元年间，皇帝曾下诏挑选古今十位名将送进姜太公庙中接受祭祀，像孔夫子庙中一样。他认为：“姜太公古代只被认为是大贤人，现却称在他之下的为亚圣，这不合道理。再说孔门的十位哲人，都是他当时的弟子，现选择的名将，朝代不同，既不合礼仪，事例又不相合。我请求除去选名将入庙接受祭祀的礼仪和他们十人的哲人称号。”皇帝下诏同意了。
建中三年(782)十月，他被任命为银青光禄大夫、中书侍郎、同中书门下平章事、集贤殿崇文馆大学士，修国史。当时政务由卢杞决定，关播只是顺从讨他的欢心。关播缺乏知人之明，喜欢说大话瞎吹的人，他必定欣赏并亲近信任。李元平、陶公达、张訹、刘承诫，都喜欢说大话，吹嘘可以立大功，实际也有点才能。关播多次上奏说李元平等人都可任将相，请求考查任用他们，皇帝认为他说得对，任命李元平为补阙。遇上淮西节度李希烈反叛，皇帝认为汝州是重要城镇，命选派刺史。关播推荐李元平任汝州刺史，不久提升李元平任检校吏部郎中、汝州别驾，知州事。李元平到汝州只十天，被李希烈俘虏，汝州被叛军占领，朝廷内外都嘲笑关播。因此陶公达等人没能被重用。关播和卢杞等随皇帝逃到奉天，后来卢杞、白志贞等人都被贬官，关播还掌管朝政，朝廷内外议论纷纷，认为不应该，于是被罢相，改任刑部尚书。重臣韦伦等人在朝中哭着说：“当宰相不能谋划辅佐皇上，到了今天这地步，还官任尚书，我们觉得痛心！”
贞元四年(788)，回纥请求和亲，皇帝将咸安公主下嫁回纥可汗，在关播原官职外加封检校右仆射、兼御史大夫，命持符节任送咸安公主和册封回纥可汗的使臣，他担任使臣去来，都清廉俭朴小心谨慎，异族人敬重他。他出使归来，被提升任兵部尚书，但他称病坚决推辞，请求免官，后改任太子少师退休。关播退休后，裁减仆人车马，闭门静养，不干预外边的事务，当时士人都称赞他。贞元十三年(797)正月，他去世了，当时七十九岁，皇帝停止上朝一天致哀，赠官为太子太保。