眀乘除法
夏侯阳曰夫算之法约省为善有分者通之分不均者同之位髙者下之可约者约之耦则半之五则倍而折之一三七九商用所宜于此不得乃为之命分分母入者湏出之然后为定子可半者半之不可半者倍母而入之此算之要道也凡除分者全数易了竒残难用心意之劳正在于此后当随事释之其物残分求尺尺之求寸皆上十之斤之求两二而八之两之求铢三而八之铢之求絫黍皆上十之斗之求升合抄撮皆上十之里之求步三百之步之求尺六之牦毫丝忽可以意知夫乗除之法先眀九九一从十横百立千僵千十相望万百相当满六已上五在上方六不积算五不单张上下相乗实居中央言十自过不满自当以法除之宜得上商从算相似横算相当以次右行极于左方言法之上见十步至十见百步至百见千步至千见万步至万悉观上数以安下位上不满十下不满一步随多少以为楷式
以少呼多因法为母积实为子二分之一为中半三分之二为太半三分之一为少半四分之一为弱半此漏刻之数也
凡算者有五乗五除【除者散繁除约乃以除减为名乗者令少乗多乃以乗长为称乗盈除缩故曰乗除也】一曰法除【上下置位以少呼多言十自过不满自当实居中央故曰法除也】二曰步除【如斛中求斗斗中求升升中求合合中求勺勺中求抄及丈中求尺尺中求寸寸中求分皆言上十之上百之故曰步除也】三曰约除【如等数所得者约实约法各得分数故曰为除也】四曰开平方除【借一算为下法步之超一位幂方十其积有百幂方百其积有万至百言十至万言百故曰开平方除也】五曰开立方除【借一算为下法步之超二位立方十其积有千立方百其积有百万至千言十至百万言百故曰开立方除也】
时务云十乗加一等百乗加二等千乗加三等万乗加四等十除退一等百除退二等千除退三等万除退四等
辩度量衡
田曹云度之所起起于忽十忽为一丝十丝为一毫十毫为一牦十牦为一分十分为一寸十寸为一尺十尺为一丈十丈为一引四丈为一匹五丈为一端六尺为一步二百四十步为一畞三百步为一里
仓曹云量之所起起于粟十粟为一圭十圭为一撮十撮为一抄十抄为一勺十勺为一合十合为一升十升为一斗十斗为一斛
金曹云称之所起起于黍十黍为一絫十絫为一铢二十四铢为一两十六两为一斤三十斤为一钧四钧为一石
汉书律厯志曰度者所以度长短本起于黄钟之长以子谷秬黍中者一黍之广度之九十分黄钟之长一黍为分十分为寸十寸为尺十尺为丈十丈为引而五度审矣
量者所以量多少本起于黄钟之龠用度数审其容以子谷秬黍中者千二百实其龠十龠为合十合为升十升为斗十斗为斛而五量嘉矣
权者所以称物平施知轻重本起于黄钟之重一龠容千二百黍重十二铢二十四铢为两十六两为斤三十斤为钧四钧为石而五权谨矣【两者黄钟之重二十四铢象二十四气十六两为斤象四时乗四方三十斤为钧象一月四钧为石象四时也】权与物均而生衡【谓重与物均所称适停时衡平也】衡运生规规圆生矩矩方生绳绳直生准【立凖以望防以水为平也】是为五则规者所以规圆器械令得其类也矩者所以矩方器械令不失其形也规矩相须阴阳位序圆方乃成准者所以揆平取正也绳者上下端直经纬四通也准绳连体权衡合徳百工繇焉以定法式【以上古法】
在京诸司及诸州各给称尺并五尺度斗升合等様皆铜为之
仓库令诸量函所在官造大者五斛中者三斛小者一斛以铁为縁勘平印书然后给用【以上今时用之也】
言斛法不同
仓曹云古者凿地方一尺深一尺六寸二分受粟一斛至汉王莽改铸铜斛用深一尺九寸二分至宋元嘉二年徐受重铸用二尺三寸九分至梁大同元年甄鸾校之用二尺九寸二分然时异事变斗尺不同以古就今临时校定始可行用若欲审之以掘地作穴方广三尺已下以今时用斗量米一斛置诸穴中防令平满如有少賸临时増减取米适平然后出之径量以知深浅乃可以为斛法定数
今有方窖长一丈三尺广六尺深一丈问受粟几何答曰四百八十一斛四斗八升二十七分升之四
术曰置长尺数以广尺数乗之又以深乗之得积尺以斛法除之即粟数【凡斛法一尺六寸二分】
今有圆篅周三丈髙一丈六尺问受粟几何答曰七百四十斛七斗四升二十七分升之二
术曰置周尺数自相乗以髙数乗之十二而一得积尺以斛法除之即粟数
今有平地聚粟下周三丈髙四尺问受粟几何答曰六十一斛七斗二升八十一分升之六十八
术曰置周尺数自相乗以髙乗之三十六而一得积尺以斛法除之即粟
今有仓南北一丈五尺东西三丈五尺髙八尺问受粟几何答曰二千五百九十二斛五斗九升二十七分升之七
术曰以东西南北丈尺相乗又以髙乗之得积尺以斛法除之即粟数
今有仓广二丈六尺长三丈四尺深一丈二尺中有二柱长一丈二尺圆三尺牵二枚长二丈六尺方五寸梁二枚长二丈六尺方三尺问受粟几何答曰六千二百四十斛一斗二升八十一分升之二十八
术曰置广长相乗以其深乗得一万六百八尺柱圆三尺自相乗得九尺以乗其长得一百八尺倍之得二百一十六尺以十二除之得一十八尺牵方自相乗退位得二寸五分复乗其长得六尺五寸倍之得一十三尺梁方自乗得九尺复乗其长得二百三十四尺倍之得四百六十八尺并柱牵梁【案原本脱梁字今据上文补】得四百九十九尺以减大数余一万一百九尺以斛法除之即粟数今有方仓长三十一丈六尺广七十二尺髙一十七尺中有九柱各圆三尺五寸长十七尺又有六柱各方二尺八寸长十七尺梁三枚长三十二尺厚广二尺牵三枚【案牵下原本衍方字今删】长三十二尺各方七寸问受粟几何答曰二十三万七千八百九十九斛四十三升五十四分升之五十三
术曰置长广相乗以髙乗为实圆柱自乗以乘长十二而一九因之为实方柱自乗以乗长六因之为实梁厚广相乗以乗长三因之为实牵方自乗以乗长三因之为实并柱梁牵等减仓实尺以斛法除之即粟数
课租庸调
赋役令诸戸一丁租粟二斛其调各随乡土所出绢防各二丈布二丈五尺输绢防者绵三两输布者麻三斤若当戸不成端匹屯綟者皆丈尺折半之
求庸七尺五寸法置丁数三因之折半丈尺折半之又法置丁数以七尺五寸为法乗之以五丈除之不满为竒丁丈尺他皆仿此
又法重张丁数下位退一等五因之以添上位丈尺折半
又法置丁数三而五之丈尺折半之
凡年终除闰月外有二月谓五月十月【一云九月】为农事之月免庸若役五十日租庸调竝免他皆放此
求毎丁闰有二尺五寸法【案毎丁下原本有布二端二尺五字系下文讹衍在此又脱闰有二字今据术删补】置丁数五因之丈尺折半之
求有闰年毎丁布二端二丈二尺五寸法置丁数【案此下原本有五因之丈尺折半之求有闰年毎丁布二端二丈二尺五寸置丁数凡二十六字即上文衍复在此今删正】七而七之退一等折半丈尺折半之【案原本脱丈尺折半四字今据术补】
又法【案原本脱法字今补】置丁数以二百四十五乗之退二等丈尺折半之
求庸闰布毎丁一端三丈二尺五寸法重置丁数各三因之下位退一等添头位讫半之其丈尺以下更半之求无闰年毎丁布二端一丈五尺法重置丁数上位二因之下位退一等三因之丈尺折半添上位
又法置丁数以二十三乗退一等丈尺折半之
求毎丁调綟布四丈法置丁数八因退一等丈尺折半之
求毎丁闰年庸调布二端二丈二尺五寸【案此即上求有闰年毎丁布二端二丈二尺五寸法而立术各异又求毎下原本衍年字今删正】列置丁数之位头位二因【端也】中位退一等四因【丈也】下位退二等五因【尺也】丈尺半之百丁已上不折半并三位即都数【案此下原本有若毎丁因一位端也中退一等二因丈也下位退二等五因尺也奇丁丈尺折半三位即得凡三十六字系上下文衍复在此今删正】
若毎丁庸调并賸布二丈五尺都当二端二丈五尺亦列丁数二位头位二因【端也】下位退一等五因【丈也】奇丁丈尺折半之并二位得都数
若毎丁庸调并賸布一尺六寸七分都当二端一丈六尺六寸七分亦列丁数五位头位二因【端也】次位退一等三因【丈也】次位退二等三因【尺也】次位退三等三因【寸也】下位退四等四因【分也】奇丁丈尺折半之并得都数
凡算布从丈尺以下皆倍本因之数
论步数不等
田曹以六尺为步三百步为一里【此古法】
杂令诸度地以五尺为一步三百六十步为一里田令诸田广一步长二百四十步为畞畞百为顷【此今用之】方田【四方平等名曰方田】术曰方自乗为积步以畞法除之直田【从长而广狭故曰直田】术曰以从广相乗为积步以畞法除之
腰鼓田【形似腰鼓细】术曰并三广以三而一乗长为积步以畞法除之
圆田【形如鼓面】术曰周自乗以十二而一得积步
又术周乗径四而一亦得
又术半周乗半径亦得各得积步竝以畞法除之环田【此外周而心空如环】术曰并外内周而半之以径乗为积步以畞法除之
丸田【形如覆半弹丸】术曰径乗周四而一得积步以畞法除之圭田【三角之田】术曰半长乗广为积步以畞法除之
弓田【形如弓样】术曰矢乗矢又自乗并之二而一以畞法除之
箕田【一头广一头狭】术曰并二广而半之以乗长为积步以畞法除之
四不等田【二广二长不齐也】术曰并二长而半之又并二广而半之相乗为积步以畞法除之
今有田二十一顷七十八畞一百八十步问为方几何答曰七百二十三步奇百七十一步
术曰先置顷畞于上以二百四十步乗之得五十二万二千七百二十步内零一百八十步以开方除之借一算为下法步之超一位至百止万上置上商七百下亦置七万于实位之下下法之上命上商除实讫倍方为一十四万方法一退下法再退又置上商二十于前商后又置二百于方法之下下法之上名曰隅法以方隅二法皆命上商以除实讫倍隅法为四百从上方法一退下法再退又置上商三扵前商二十之后又置三步于方法之下下法之上名曰隅法以方隅二法皆命上商除实讫倍隅法得六从上方法得一千四百四十六即是上方得七百二十三步奇一百七十一步
变米谷
仓库令云其折糙米者稻三斛折纳糙米一斛四斗若谷求米法十四乗三除【除毕以米数折退一等】
又法四二乗九除一四乗三除【案此句即上十四乗三除句复出】二八乗六除
若米求谷法三乗十四除
又法九乗四二除三乗一四除【案此句即上三乗十四除句复出】六乗二八除
粟五斗为粝米三斗三十乗之五十而一为粺米二斗七升二十七乗之五十而一为糳米二斗四升二十四乗之五十而一为御米二斗一升二十一乗之五十而一
今有粟五千五百一十斛九斗欲毎斛为粝米六斗粺米五斗四升糳米四斗八升御米四斗二升问各几何答曰粝米三千三百六斛五斗四升粺米二千九百七十五斛八斗八升六合糳米二千六百四十五斛二斗三升二合御米二千三百一十四斛五斗七升八合术曰置粟退一等以六斗乗为粝米以五斗四升乗为粺米以四斗八升乗为糳米以四斗二升乗为御米返求粟法置粝米数以五因之三除之置粺米数以上十之以五斗四升除之糳米各以本米数除之皆得本粟
今有谷一千八百四十三斛八斗三升欲依租变米毎谷三斛为米一斛四斗问合得米几何答曰八百六十斛四斗五升四合
术曰置谷数以一斛四斗为法乗之以三斛为法除之得米数