《数度衍》卷二

钦定四库全书

数度衍卷二

桐城　方中通　撰

笔算上

加法

术曰列散数各横置以类相从【十从十百从百】大左小右自右并起零数纪本位下十进一位百进二位无零本位纪○诸位至左并毕即下纪数为所求总数也

进一位式有一万零六百五十四又八千九百零七又五万六千七百八十九又八百八十问共若干曰七万七千二百三十术先并单数四七九为二十此有十无

零也本位纪○进二于左次并十数

五八八及单数所进之二为二十三

本位纪三进二于左次并百数六九

七八及十数所进之二为三十二本

位纪二进三于左次并千数八六及

百数所进之三为一十七本位纪七进一于左次并万数一五及千数所进之一为七本位纪七合问

进二位式有散数如图所列问共若干曰二万三千七百五十二术先并单数为一百零二本位纪二进一于

左隔位此百进

二位也次并十

数为五本位纪

五次并百数及

单数所进之一

为一十七本位纪七进一于左次并千数及所进一为二十三本位纪三进二于左万无数即纪所进二合问通曰多层者截作两段三段为便如右试截上六层得总数一五六八一即将此数及下六层求得总数亦合

试加差法

术曰有九减七减二法九用见数而九减之七用实积数而七减之先减散数余若干次减总数余若干两余相比同则无差

九减式试第一式先减散数去○与九不入减并四七

五八八六七八八六一五共

为七十三九减余一【减去八九七十】

二列乂左次并总数三二七七共为

一十九九减余一【减去二九一十八】列乂右

左右相比数同无差

通曰此以见数为主不论千百位也

七减式试第一式散数首行之左一○作一十七减余

七减余一【减二七一】

【十四】次作一十四七减无余右下纪○次行左八九作八十九七减余五次作五十七减余一次作一十七七减余三右下纪三三行依法减余五四行依法减余五俱纪右下再以各行纪余○三五五并为十三七减余六乃以总数依法减之余六左右列比无差

减法

术曰多者列上为原数少者列下为减数所求数为减余从类列位自右减起下纪其余也下数多于上数者

为不足减上○而下有数者为无可减二者用借法式有二千七百一十五减四百零二问余若干曰二千三百一十三术原数列上减数列下减数首百从原数百下顺列单位五内减二余三抹去原数五本位纪三次十位一遇○无减本位仍纪一次百位七减四余三抹去原数七

本位纪三次千位二遇无减数本位仍纪一合问用借式有四千八百四十减二千五百九十二问余若干曰三千二百四十八术列原数减数单位○不能减二须借左原数一在本位作十减二余八下纪八次十位原数四因右借一存三不能减九借左原数一在本位作十并存三为十三减九余四下纪四次百位原数八因右借一

存七减五余二下纪二次千位四减二余二下纪二合问

用借用还式数如前式术单位○不能减二借左原数一在本位作十减二余八乃于十位减数九加一作十以还借数四不能减十借左原数一在本位作十并四为十四减十余四百位减数五加一作六以还借数八内减六余二千位四减二余二亦合

左减式数如前式术通曰旧法自右起今易自左起千位四内减二余二抹去原数四减数二而变为二次百位八内减五余三八变为二次十位四不能减九于百位变三内退一三又变为二十位四上加十为十四减九余五四变为五次单位○不能减二于十

位变五内退一五又变为四单位○上作十减二余八○变为八此法较便

试减差法

术曰一用如法试之以减数并减余得原数或以减余减其原数应与所减数合又有九减七减二法如试加然但以减数及减余合为一处又如加之散数首行次行耳

用加法式试第一式以减数四百零二并减余二千三百一十三为二十七百一十五合原数无差

用减法式试第一式以减余二千三百一十三于原数二千七百一十五内减之余四百零二合减数无差九减式试第一式先并减数四二及减余二三一三共

为一十五九减余六次并原数

二七一五为一十五九减余六

左右列比无差

通曰九减用实积数亦可盖九数无往

不合故也

七减式试第一式先以减数之左四○作四十七减余五次作五十二七减余三又以减余之左二三作二十三七减余二次作二十一七减无余次三不足减仍余三俱纪右下乃以各数纪余之三二并为六不足减仍

作六再以原数之左二七

作二十七七减余六次作

六十一七减余五次作五十五七

减余六左右列比无差

乘法

术曰乘即因也用九因法上列原数【即实数】下列乘数【即法】数齐于右尾算即始右将下一位遍乘上诸位向左逐位纪所乘数于下尽下数乃止诸所纪为散数用加法得所求总数若定总首何数从乘数左首推至总数左首即知通曰凡以下乘上一数有二位左十右零右即本位也遇十有数而零亦有数者曰平【三四一十二四四一十六之类】本位纪零数左位纪十数遇十有数而零无数者曰足【五四得二十五八得四十之类】本位纪○而其数纪左位也遇十无数而零有数者曰如【一三如三二三如六之类】左位纪○而其数纪本位也旧法纪数每并为一令人难晓凡原尾有○而乘尾无○者虽○亦乘之以存其位乘尾有○而原尾无○者即自乘数之有数位乘起若上下尾与中或俱有○者亦须乘之以存位下数乘上○下○乘上数皆曰某○如○下○乘上○曰○○如○则本位左位俱纪○也

十因

式乘上下数不等少数尚未满十乘数而少数不及于乘上下数如以八乘九何以得七十二术九在十内少一纪一于九右八在十内少二纪二于八右是八九为乘上下数一二为少数也上九下八上下数不等也一不及九二不及八少数不及也以少数一二相乘得二纪下二未满十故曰未满十乘数也

又以右一斜减左八右二斜减左九俱余七数同下纪七故得七十二

又式乘上下数等少数未满十乘数而少数不及于乘上下数如以八乘八何以得六十四术上下俱八故曰上下数等八在十内少二右俱纪二相

乘得四下纪四左右上下斜减俱余六下纪六故得六十四

又式乘上下数等少数已满十乘数而少数反过于乘上下数如以三乘三何以得九术上下俱三三在十内少七右俱纪七相乘得四十九已有四十故曰已满十乘数也下纪九寄四于左左上下三各

加所寄四俱变为七然后左右上下斜减俱无余下纪○故得九

又式乘上下数不等少数满十乘数而少数不及于乘上下数如以六乘七何以得四十二术七在十内少三六在十内少四俱纪右相乘得一十二下纪二寄一于左左上七加一变为八下六加一变为七然后左右上下斜减俱余四下纪四故得四十二又

术三四乘得一十二将一悬于左待左右上下斜减俱余三乃并所悬之一为四亦合

通曰一二之乘得八九之乘是以小乘而得大乘也七七之乘得三三之乘是以大乘而得小乘也九因本乎十因即洛书之无十而藏十也

诸式

一位乘式有一百五十二人每人六两问共若干曰九百一十二两术列定自右乘起先以六乘二曰二六一十二此平也左位纪一本位纪二次以六乘五曰五六三十此足也左位纪三本位纪○次以六乘一曰一六如

六此如也左位纪○本位纪六所纪散数用加法合问乘数六是两推至总数首为百

多位乘而原数中有○式有四千六百零八人每人三百二十五两问共若干曰一百四十九万七千六百两术列数以五乘八曰五八四十以五乘○曰五○如○以五乘六曰五六三十以五乘四曰五四二十如法纪

之此五之徧乘也次以二乘八

曰二八一十六以二乘○曰二

○如○以二乘六曰二六一十

二以二乘四曰二四如八如法

进位纪之此二之徧乘也次以

三乘八曰三八二十四以三乘

○曰三○如○以三乘六曰三

六一十八以三乘四曰三四一十二如法又进位纪之此三之徧乘也用加法合问

原数尾有○式有六百人每人六两问共若干曰三千六百两术以六乘尾○曰六○如○次以六乘次○曰六○如○次以六乘六曰六六三十六此乘○以存位也推至总首为

千

乘数尾有○式有四十五人每人六十两问共若干曰二千七百两术乘数尾有○虽不必乘然一○为十二○为百不可不列位列后从六乘起可耳以六乘五曰五六三十以六乘四曰四六二十四推至总首为千

原数乘数尾俱有○式有六百人每人三百四十两问

共若干曰二十万零四千两术列定

先以四徧乘次以三徧乘得总数尾

三○便于定位

通曰加减乘除皆可易横

为直而乘用直觉便故附

于此至于诸○立法不得

不存熟则不用矣

试乘差法

术曰九减七减如前但左右列数多一互乘得数又减之余列上总数减余列下上下相比也不用散数九减式试第二式除○九外并原数四六八为一十八

九减无余列○于乂左并乘数

三二五为一十九减余一列乂

右以左右一与○乘曰一○如○无数列○于乂上并总数一四七六为一十八九减无余列○于乂下上下相比无

差

七减式试第四式原数如法减之余三列乂左乘数如法减之余四列乂右以左右三四乘得一十二七减余

五列上总数如法减之余五列

下上下相比无差

通曰九减用见数可去○九不用七减用实积数必存○九之位与数以便逐

位减至右末而止也

除法

术曰有实有法有用数实即原数列上法即除数列下用即所求分数也上下齐左从左起算下首少于上首者齐列下首多于上首者退位列之于右界格以法除实视法首于实内有防回即用防除之而纪其防除之数于格外为用数也原实变后即为余实存上次法乘用数除实尽法位而止又将法数退一位列下【一徧用数一徧退位与初列退位不同】再视法首于余实内有防回当用防除而又纪其防除之数于第一次用数之右次法又乘第二次用数除实也以法尾退至实尾齐右而止格外所纪为分数有余实亦当存之再除实尾数即用尾数推而知用数之首也

通曰以下除上凡除亦有二位左除十右除零右即本位本位上左有实者将左右两实作为防十防也左有实而右无实者作防十也左无实而右有实者为零数也若遇实数可以除此一徧而不足以除下徧者则知用数中当有零矣详后式

定列位

通曰其法有五不退者二退位者三与珠算无除説同盖不退者有可除之数也退者无可除之数也

诸式

退位式有三百四十二两九人分之问各若干曰三十

八两术法首九多于实首三当退位列法实首三四作三十四【退位故作防十防也】视三十四内有三回九当以三为用数纪格右以九乘三得二十七于三十四内除之抹去三变四为七次以法九退列余实七二作七十二内有八回九当以八为次用数纪首用数三右于余实内除八九七十二实尽俱抹去格右所纪三八即所求分数法

尾齐实尾两数则知用数尾八为两也

不退位及减用数式有八百五十五两四十五人分之问各若干曰一十九两术法首四少于实首八不退位实八即作八视八内有二回四当以二为用数但二四除实首八而次法二五除一十则无实可除遇此则减用数一止以一为用数一四除四一五除五次以法退列余实四○作四十视有九回四当以九为

次用数四九除三十六五九除四十五实尽合问用数中当有○式有七万六千零四十八两八人分之问各若干曰九千五百零六两术退位列法首用数该九八九除七十二又退位列法次用数该五五八除四十又退位列法八适至实之四下左无余实四不足除遇此则纪○以当一徧用数又退位列法次用数该六六八除四十八实尽合问

通曰前式格外用数用横列今易为直盖横

直俱可用也

实尾有○式有三百两六人分之问各若干曰五十两退位列法首用数五五六除三十纪五于格

右实数尽矣尚有余○乃退位列法次用数无数而纪○故知所得为五十两也

通曰视实尽后法尾去实尾尚空防位毎空一位加一○于用数之右亦合

实不尽式有六百五十三两五十八人分之问各若干曰一十一两【余实一十五两未分】又各二钱五分【余实五钱未分】术不退位列首用数该一　一五除五一八除八退位列法次用数该一一五除五一八除八法尾已齐实尾当暂止以察用尾为何数既知为两数余

实再除

术右式余实一十五两法当退位列用数该二二五除一十二八除一十六退位列法次用数该五五五除二十五五八除四十此用数首根前式用数尾下当是钱数也尚余实俟再除

通曰初列实时先于实右加○每加一○作降实尾一数【两降钱钱降分】即以○末为实尾较便

试除差法

术曰亦用九减七减其除毕无余实者将除数减余列左用数减余列右左右相乘减余列上原数减余列下相比其未尽实者于左右乘后并入余实减余列上原数减余列下比之若除实至半者亦以除数减余列左用数减余列右相乘又取本位【法尾止处】以前余实减余以并左右乘数再减余列上以抺过原数减余列下相比也

除无余九减式试第一式除数九九减无余左列○并

用数三八为一十一九减余二

右列二乘无数列○于乂上并

原数三四二为九九减无余列○于乂

上并原数三四二为九九减无余列○于乂下上下相比无差

除有余九减式试第五式并除数五八为一十三九减

余四左列四并用数一一

为二不足九减右即列二

乘得八又并余实一五为一十四

九减余五列上并原数六五三为一十四九减余五列下上下相比无差

除无余七减式试第一式除数九作九七减余二列左用数三八作三十八七减余三列右乘得六不足七减

即列六于上原数三四作三十

四七减余六次作六十二七减

余六列下上下相比无差

除有余七减式试第五式除数五八作五十八七减余二列左用数一一作一十一七减余四列右乘得八又

以余实一五作一十五七

减余一以此用一并左右

所乘八为九七减余二列上原数

六五作六十五七减余二次作二十三七减余二列下上下相比无差

半除试差式除数六五用数一三原数八六六三余实二一三　用九减并除数六五为一十一九减余二列左又并用数一三为四不足九减右即列四乘得八乃并法尾止处以前之余实二一为三不足九减即以此

三并左右所乘八为一十一

九减余二列上并原数抺去

三位之八六六为二十九减

余二列下上下相比无差

用七减除数六五作六十五七减余二列左用数一三作一十三七减余六列

右乘得一十二乃以法尾止处以前之余实二一作二十一七减无余与左右所乘数相并仍是一十二七减余五列上原数抺去之八六作八十六七减余二次作二十六七减余五列下上下相比无差

通曰试差之法独用九七何也盖十者数之穷也数穷则变十复为一故数始于一终于九九阳数也下九之阳数为七故七与九同用自七九而外或有合者于率不通不可立法所以加减试差用实积则无不可用见数则七与五不可也乘除试差用实积则亦无不可用见数则自九而外皆不可也若夫论除之余六与三之余同九是用九而六三可无用矣四与二之余同八是用八而四二之余可无用矣且八或可以试加减而或不可以试乘除亦不可用然则试差之法舍七与九又何所取用哉

命分法

术曰命分者一大防何已分防何命余者为防何分之防何也又曰所余之小防何再分防何命此得者为防何分之防何也

通曰第一术即防何原本之命比例法也第二术恰尽则可否则终不能尽也

式法数为母余数为子如实数八万七千二百四十八法数三百七十四法尾已齐实尾用数已得二三三尚有余实一○六当命为三百七十四分之一百零六也又式得数为子得数前位为母得数一位为十二位为百三位为千也如右式余实一○六先于六右加一○依法再除之得二又加一○再除之得八又加一○再除之得三凡三位乃千也当命为千分之二百八十三也

数度衍卷二